JavaScript

Para practicar la puesta en práctica de las recomendaciones de Douglas Crockford respecto a como programar en JavaScript, me decidí por hacer una demostración en SVG del famoso “Arnold’s Cat Map“. Este mapeo consiste simplemente en aplicar repetidas veces a las coordenadas de un conjunto de puntos inicial la transformación

(x, y) → (x + y, x + 2y) mod 1 .

El “mod 1” es lo que indica que trabajamos sobre el toroide ℝ2/ℤ2.

Si bien el mapa aplicado a valores reales es caótico y mezcla fuertemente el conjunto de puntos, se observa un fenómeno de recurrencia en las variantes discretas del problema (tal como la implementada). Para este caso particular en el que la imagen es de 32 X 32 pixels, la recurrencia se observa en el paso 24.

Nota de implementación: la imagen fue tomada de Wikipedia y editada y transformada a formato “JSON” utilizando PIL.

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Porqué los espejos intercambian derecha e izquierda?

Se cree comúnmente que los espejos “intercambian la derecha y la izquierda”. Por ejemplo, la imagen especular de una persona diestra escribirá, aparentemente, con la mano izquierda. Esto nos llevaría a pensar que el espejo trata en forma diferente a las direcciones horizontales que a las direcciones verticales (porque no observamos que el espejo invierta “arriba y abajo”).

Pero esto no es lo que en realidad “el espejo hace”. La reflexión invierte las posiciones en la dirección perpendicular al espejo. Es por alguna razón psicológica que esto se observa como una rotación de 180° alrededor de un eje vertical compuesta con una inversión de derecha e izquierda.

La razón que se me ocurre para esto es que inconsciente observamos al reflejo como otra persona física; como físicamente las personas pueden rotarse pero no reflejarse, la visualizamos como una versión rotada de nosotros mismos con sus lados derecho e izquierdo intercambiados. 

Esto plantea la pregunta de porqué visualizamos una reflexión derecha/izquierda pero no la reflexión adelante/atrás. Si bien no se me ocurre una respuesta directa a esta pregunta, probablemente se deba a la cuasi-simetría externa de las personas respecto al intercambio derecha/izquierda.

Lattice Boltzmann (actualización)

Todavía no encontré el tiempo para dar una breve explicación de Lattice Boltzmann, pero logré mejorar notablemnete la eficiencia de la simulación. Puede hacerse checkout de la última “versión” hasta el momento en http://lattice-boltzmann-sdl.googlecode.com/svn/tags/0.03/.

A continuación muestro dos imágenes de la simulación, que está corriendo a unos 30 FPS en un solo core de un Intel Core Duo T2600 @ 2.16 GHz. Corresponden a la colisión de dos esferas de fluido en forma ligeramente oblicua.


La subasta del dólar

Desde el punto de vista formal se define a un juego como un conjunto de jugadores, cada uno de los cuales dispone de una serie de posibles acciones a tomar, y una forma de determinar cuanta recompensa recibe cada uno de los jugadores en base a las acciones que eligen todos ellos. Este formalismo no solo puede modelizar juegos como el ta-te-ti o el ajedrez, sino que puede aplicarse al análisis de situaciones hipotéticas tales como el conocido “dilema del prisionero”.

Uno de los juegos que fueron definidos de este modo es el conocido como la “subasta del dolar” y fue creado por Martin Shubik en 1971 para dar un ejemplo simple del conocido proceso de escalada en los conflictos. El juego es muy simple: se subasta un dólar entre dos jugadores pero ambos deben pagar sus ofertas, lo que altera radicalmente el desarrollo de la subasta.

Supongamos que la oferta mínima y el incremento mínimo de las ofertas se establece en 0.05. Entonces, a primera vista, parece un excelente retorno ofrecer 0.05 a cambio del dólar; pero también lo será para el otro jugador ofrecer 0.10 y así el proceso puede seguir hasta que las ofertas hasta 0.95. Pero la fase más interesante ocurre a partir de este momento…

Supongamos que el jugador “A” hizo la última oferta de 0.95 después de que “B” hubiera ofrecido 0.90. Entonces “B” tiene dos opciones: puede aceptar perder 0.90 o puede ofrecer 1.00 y “salir hecho”. El mismo análisis puede hacerlo “A” en caso de realizar “B” su oferta de 1.00: puede perder 0.95 u ofrecer 1.05 y perder 0.05… Esto lleva a una competencia en la que las pérdidas son potencialmente ilimitadas.

Uno podría pensar que este juego carece de relevancia práctica en si y que solo interesa como modelo de otras competencias que suceden en la realidad, pero eso sería incorrecto. Pueden verse más detalles acerca de Swoopo y su modelo de negocios en múltiples sitios. Quién dice que la teoría de juegos no es redituable? 😀

Lattice Boltzmann (con SDL!)

Estoy trabajando en un nuevo proyecto personal: realizar una simulación de fluidos mediante el método conocido como Lattice Boltzmann y usando SDL para los gráficos. Si bien el objetivo último es lograr una buena performance, actualmente solo está funcionando la implementación “lenta” que voy a usar con propósitos comparativos (a unos 8 FPS con simple precisión en un Core Duo @ 2.16 GHz).

Hoy fue una experiencia bastante frustrante: empleé horas buscando un error en mi implementación de Lattice Boltzmann para descubrir finalmente que el problema estaba en las condiciones iniciales que estaba empleando… Más específicamente, no estaba cumpliendo con la condición CFL :-S

En las próximas semanas probablemente agregue algo más acerca de Lattice Boltzmann y, con suerte, tenga nuevos avances del proyecto.

Lissajous II

(Continúa a este post.)

Es bien conocido que puede escribirse a todo número real como el producto de un número real de módulo menor que 1 y una potencia entera de un número mayor que 1. Por ejemplo, tomando base 10, tenemos:

234.435 = 0.234435 ∙ 103
3.14159… = 0.314159… ∙ 101
1024 = 0.1024 ∙ 104

Claramente podemos observar que el primer dígito del número aparece como el primer decimal en esta forma de representación. Utilizando algunas funciones tales como
{x} = la parte fraccionaria de x, igual a x – ⌊x⌋,
podemos expresar esto como
pd(x) = ⌊10{log10 x}⌋,

donde pd(x) es la función que devuelve el primer dígito del número (esta expresión está limitada a numeros positivos, pero son los que interesan en nuestro caso). Esto nos indica que el primer dígito será:

1 si 0 ≤ {log10 x} <  log10 2
2 si  log10 2 ≤ {log10 x} <  log10 3

9 si  log10 9 ≤ {log10 x} <  1 

Por lo tanto, la determinación de la primera cifra de la expansión decimal de un número se reduce a encontrar en cual de estos intervalos cae la parte fraccionarial de su logaritmo en base 10. Si aplicamos esto a las potencias de dos tenemos que
 {log10 2n} = {n log10 2}.
Por consiguiente, la determinación de los posibles valores de los primeros dígitos de las potencias de dos se reduce a encontrar los sectores del intervalo [0, 1) donde caen las partes fraccionarias de los múltiplos de log10 2. Encontrar cuáles son estos sectores y cuál es la conexión de todo esto con las figuras de Lissajous quedará para el próximo post por razones de tiempo 🙂