Lissajous II

(Continúa a este post.)

Es bien conocido que puede escribirse a todo número real como el producto de un número real de módulo menor que 1 y una potencia entera de un número mayor que 1. Por ejemplo, tomando base 10, tenemos:

234.435 = 0.234435 ∙ 103
3.14159… = 0.314159… ∙ 101
1024 = 0.1024 ∙ 104

Claramente podemos observar que el primer dígito del número aparece como el primer decimal en esta forma de representación. Utilizando algunas funciones tales como
{x} = la parte fraccionaria de x, igual a x – ⌊x⌋,
podemos expresar esto como
pd(x) = ⌊10{log10 x}⌋,

donde pd(x) es la función que devuelve el primer dígito del número (esta expresión está limitada a numeros positivos, pero son los que interesan en nuestro caso). Esto nos indica que el primer dígito será:

1 si 0 ≤ {log10 x} <  log10 2
2 si  log10 2 ≤ {log10 x} <  log10 3

9 si  log10 9 ≤ {log10 x} <  1 

Por lo tanto, la determinación de la primera cifra de la expansión decimal de un número se reduce a encontrar en cual de estos intervalos cae la parte fraccionarial de su logaritmo en base 10. Si aplicamos esto a las potencias de dos tenemos que
 {log10 2n} = {n log10 2}.
Por consiguiente, la determinación de los posibles valores de los primeros dígitos de las potencias de dos se reduce a encontrar los sectores del intervalo [0, 1) donde caen las partes fraccionarias de los múltiplos de log10 2. Encontrar cuáles son estos sectores y cuál es la conexión de todo esto con las figuras de Lissajous quedará para el próximo post por razones de tiempo 🙂
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