Carne “in vitro”?

Parece que se encuentra más cerca de lo que yo suponía…

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"Paradoja" resuelta

Quería hacer unos comentarios respecto al problema del post anterior. Se mencionaba que, a una vela solar en movimiento, la luz le transmitía energía por efecto Doppler: la luz reflejada tendrá un espectro más rojizo (más frío) que la incidente. Pero una vela solar “en reposo” esto no le transmite potencia; como puede entonces comenzar a moverse…

Y la respuesta es verdaderamente simple: no necesita potencia para empezar a moverse 😀 En efecto, supongamos que la vela solar se mueve con aceleración constante. Entonces tendremos para su energía cinética en función del tiempo la expresión:

T(t) = 1/2 mv2 = 1/2 m(at)2 = 1/2 ma2t2

Como la potencia no es más que un flujo de energía (en este caso la requerida para originar el aumento observado de la energía cinética), podemos obtener la potencia que la luz debería transmitir mediante una simple derivada:

P(t) = d/dt(T(t)) = ma2t

Puede observarse claramente que la potencia requerida inicialmente es nula y que esto se deriva de la relación cuadrática entre la energía cinética y la velocidad. Sorprendente, no?

Un problema de integrales (I)

En su blog, Kaveh Khodjasteh menciona el siguiente problema:

Dada una función \theta(t) con derivada finita que cumple

\theta(0) = 0

\int_0^T e^{-i\theta(t)}dt = 0

\int_0^T t e^{-i\theta(t)}dt = 0,

probar que \theta(T) = 0 o similar. No estoy seguro de la posible aplicación de este resultado (ya que mi ignorancia en el área de la computación cuántica es grande :-)), pero creo que una forma interesante de visualizar este problema es asociarlo a un problema de planificación de movimiento.

Supongamos que tenemos un robot que se desplaza por el plano XY y del cual podemos controlar en principio su orientación \theta(t) y su velocidad v(t). Entonces sus ecuaciones de movimiento serán:

\dot{x}(t) = v(t) \cos \theta(t)
\dot{y}(t) = v(t) \sin \theta(t).

Transformándolas al plano complejo tendríamos:

\dot{z}(t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t) = v(t) (\cos \theta(t) + i \sin \theta(t)) = v(t) e^{i \theta(t)}.

Puede observarse ya en estas ecuaciones una gran similitud con los integrandos que aparecen en el problema original. De hecho, la única diferencia es el signo del exponente, el cual puede absorberse en \theta(t) o en una redefinición de la orientación del eje Y. Si integramos respecto al tiempo en el intervalo {[0, T]} tendremos la siguiente expresión (asumiendo z(0) = 0):

z(T) = \int_0^T v(t) e^{i \theta(t)} dt.

Por lo tanto, la condición expresada por la primera integral del problema puede verse como equivalente a exigir el retorno al punto de partida del móvil luego de un intervalo  de tiempo T (z(T) = 0) manteniendo velocidad unitaria (v(t) = 1). La condición expresada por la segunda integral será similar  (z(T) = 0) pero con v(t) = t, es decir con aceleración unitaria. La condición sobre el valor inicial de \theta(t) es equivalente a pedir que el móvil empiece moviéndose en dirección +X.

Si bien encontrar una trayectoria que cumpla solo la primera condición es muy simple y encontrar una que cumpla solo la segunda es solo un poco más complejo, encontrar una que cumpla ambas es marcadamente difícil; consiste en especificar una secuencia de orientaciones en función del tiempo \theta(t) tal que, una vez transcurrido un periodo de tiempo T dado, el móvil esté nuevamente en el origen tanto en caso de haberse movido con velocidad unitaria como en caso de haberlo hecho con aceleración unitaria.

La gran mayoría de las funciones que cumplen una de estas condiciones no cumplen la otra. Por ejemplo, suponiendo T = 2\pi, para \theta(t) = t tenemos

\int_0^{2\pi} e^{-i t} dt = 0, pero

\int_0^{2\pi} te^{-i t} dt = 2 \pi i.

Función de control lineal

Función de control lineal

Mientras que para el caso \theta(t) = \frac{t^2}{2\pi} tendremos

\int_0^{2\pi} e^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt \approx 1.53389 - 1.07887i  y

\int_0^{2\pi} te^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt = 0.

Función de control cuadrática

Función de control cuadrática

Como este post ya es muy largo, voy a discutir mi solución a este problema en el próximo… Hasta entonces!

Mismo blog, nueva ubicación

Bienvenidos a la nueva ubicación de mi blog. Si bien en general me gustan los servicios de Google, las ventajas que da la integración de LaTeX con WordPress me convenció de hacer el cambio.

a^2 + b^2 = c^2

era molesto de hacer en Blogger;

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

era imposible.

Pueden suscribirse a este nuevo feed https://mchouza.wordpress.com/feed/ y espero que haya aun más visitantes, a pesar de la famosa frase mencionada por Stephen Hawking 🙂

[Actualización: Ahora logré importar los posts de Blogger]

Zenón 2.0 :-)

Una vela solar es un sistema propuesto de propulsión para naves espaciales que utiliza la presión que ejerce la luz solar sobre una membrana (generalmente reflectiva). Puede representarse mediante el siguiente esquema (dibujado por Randall Munroe, el autor de xkcd):
Obviamente, como todo sistema físico, una vela solar debe obedecer la conservación de la energía. Por lo tanto su energía cinética debe adquirirse a partir de una correspondiente reducción en la energía de la luz incidente. En efecto, esto es lo que sucede y, en el caso de una vela perfectamente reflectiva, el efecto Doppler reduce la longitud de onda de los fotones reflejados de modo que la energía se conserve.

El problema es el siguiente: cuando la vela está estacionaria, no hay efecto Doppler y la potencia transferida a la vela es nula; como puede entonces comenzar a moverse? (Hint: T = 1/2 mv2)

La respuesta a este problema y un análisis más exhaustivo del comportamiento energético de las velas solares en unos días…