Un problema de integrales (I)

En su blog, Kaveh Khodjasteh menciona el siguiente problema:

Dada una función \theta(t) con derivada finita que cumple

\theta(0) = 0

\int_0^T e^{-i\theta(t)}dt = 0

\int_0^T t e^{-i\theta(t)}dt = 0,

probar que \theta(T) = 0 o similar. No estoy seguro de la posible aplicación de este resultado (ya que mi ignorancia en el área de la computación cuántica es grande :-)), pero creo que una forma interesante de visualizar este problema es asociarlo a un problema de planificación de movimiento.

Supongamos que tenemos un robot que se desplaza por el plano XY y del cual podemos controlar en principio su orientación \theta(t) y su velocidad v(t). Entonces sus ecuaciones de movimiento serán:

\dot{x}(t) = v(t) \cos \theta(t)
\dot{y}(t) = v(t) \sin \theta(t).

Transformándolas al plano complejo tendríamos:

\dot{z}(t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t) = v(t) (\cos \theta(t) + i \sin \theta(t)) = v(t) e^{i \theta(t)}.

Puede observarse ya en estas ecuaciones una gran similitud con los integrandos que aparecen en el problema original. De hecho, la única diferencia es el signo del exponente, el cual puede absorberse en \theta(t) o en una redefinición de la orientación del eje Y. Si integramos respecto al tiempo en el intervalo {[0, T]} tendremos la siguiente expresión (asumiendo z(0) = 0):

z(T) = \int_0^T v(t) e^{i \theta(t)} dt.

Por lo tanto, la condición expresada por la primera integral del problema puede verse como equivalente a exigir el retorno al punto de partida del móvil luego de un intervalo  de tiempo T (z(T) = 0) manteniendo velocidad unitaria (v(t) = 1). La condición expresada por la segunda integral será similar  (z(T) = 0) pero con v(t) = t, es decir con aceleración unitaria. La condición sobre el valor inicial de \theta(t) es equivalente a pedir que el móvil empiece moviéndose en dirección +X.

Si bien encontrar una trayectoria que cumpla solo la primera condición es muy simple y encontrar una que cumpla solo la segunda es solo un poco más complejo, encontrar una que cumpla ambas es marcadamente difícil; consiste en especificar una secuencia de orientaciones en función del tiempo \theta(t) tal que, una vez transcurrido un periodo de tiempo T dado, el móvil esté nuevamente en el origen tanto en caso de haberse movido con velocidad unitaria como en caso de haberlo hecho con aceleración unitaria.

La gran mayoría de las funciones que cumplen una de estas condiciones no cumplen la otra. Por ejemplo, suponiendo T = 2\pi, para \theta(t) = t tenemos

\int_0^{2\pi} e^{-i t} dt = 0, pero

\int_0^{2\pi} te^{-i t} dt = 2 \pi i.

Función de control lineal

Función de control lineal

Mientras que para el caso \theta(t) = \frac{t^2}{2\pi} tendremos

\int_0^{2\pi} e^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt \approx 1.53389 - 1.07887i  y

\int_0^{2\pi} te^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt = 0.

Función de control cuadrática

Función de control cuadrática

Como este post ya es muy largo, voy a discutir mi solución a este problema en el próximo… Hasta entonces!

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One thought on “Un problema de integrales (I)

  1. […] Febrero 12, 2009 at 2:01 am (Uncategorized) [Continuación de “Un problema de integrales (I)”] […]

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