Un problema de integrales (II)

[Continuación de “Un problema de integrales (I)“]

Una forma de explorar un espacio tan grande como es el de trayectorias en el plano en busca de un contraejemplo es restringirse a un subconjunto pequeño del mismo. Para este caso podemos elegir las trayectorias poligonales formadas por tres segmentos (con la idea de ampliar el número de segmentos en caso de no ser posible encontrar un contraejemplo). Expresándolo más formalmente, equivaldría a elegir una función de control \theta(t) de la forma

\theta (t) = \theta_1 H(t - t_1) + (\theta_2 - \theta_1) H(t - t_2),

siendo H(t) el escalón unitario y siendo t_1, \theta_1, t_2 y \theta_2 los parámetros de la trayectoria. Para no arrastrar T por todos lados, podemos tomar T = 1.

Obviamente estas trayectorias no cumplen el requisito de tener derivadas finitas, ya que tienen esquinas en t = t_1 y t = t_2. Pero si se encuentra  una una solución para una de estas trayectorias poligonales es intuitivamente plausible que pueda luego ser “redondeada” para conseguir derivadas finitas.

Esta familia de trayectorias cumple automáticamente con el requisito de que \theta(0) = 0, así que solo resta expresar las otras dos ecuaciones en términos de los parámetros. Empezando con la restricción correspondiente a la trayectoria con velocidad unitaria, tenemos

\int_0^1 e^{-i\theta_(t)} dt = \int_0^{t_1} e^0 dt + \int_{t_1}^{t_2} e^{-i\theta_1} + \int_{t_2}^1 e^{-i\theta_2}dt = 0 .

Como son integrales de constantes, se simplifican a la siguiente expresión:

t_1 + (t_2 - t_1) e^{i\theta_1} + (1 - t_2) e^{i\theta_2} = 0.

La restricción correspondiente a la trayectoria con aceleración unitaria será solo algo más compleja:

\int_0^1 t e^{-i\theta (t)} dt = \int_0^{t_1} t e^0 dt + \int_{t_1}^{t_2} t e^{-i\theta_1} dt + \int_{t_2}^1 t e^{-i\theta_2} dt = 0

\int_0^{t_1} t dt + e^{-i\theta_1}\int_{t_1}^{t_2} t dt + e^{-i\theta_2}\int_{t_2}^1 t dt = 0

\left(\frac{t_1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right) + e^{-i\theta_1}\left(\frac{t_2^2}{2}-\frac{t_1^2}{2}\right)  + e^{-i\theta_2}\left(\frac{1^2}{2}-\frac{t_2^2}{2}\right)  = 0

t_1^2 + e^{-i\theta_1}\left(t_2^2 - t_1^2\right)  + e^{-i\theta_2}\left(1 - t_2^2\right)  = 0.

Como toda exponencial de un número puramente imaginario puede caracterizarse como un número complejo de módulo unitario, podemos reemplazar las exponenciales por nuevas variables con restricciones asociadas. Esto  dejaría la búsqueda de trayectorias que cumplan las ecuaciones planteadas originalmente reducida a la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:

t_1 + w_1(t_2 - t_1) + w_2(1 - t_2) = 0

t_1^2 + w_1(t_2^2 - t_1^2) + w_2(1 - t_2^2) = 0

|w_1| = 1

|w_2| = 1.

Separando en componentes reales e imaginarias, el sistema puede convertirse en uno puramente algebraico (a costa de aumentar el número de ecuaciones):

t_1 + x_1(t_2 - t_1) + x_2(1 - t_2) = 0

y_1(t_2 - t_1) + y_2(1 - t_2) = 0

t_1^2 + x_1(t_2^2 - t_1^2) + x_2(1 - t_2^2) = 0

y_1(t_2^2 - t_1^2) + y_2(1 - t_2^2) = 0

x_1^2 + y_1^2 = 1

x_2^2 + y_2^2 = 1.

Este sistema algebraico, junto con las condiciones de orden temporal y no degeneración 0 < t_1 < t_2 < 1, puede ser resuelto en forma manual o con ayuda de una computadora. Se obtiene como resultado la siguiente solución única:

t_1 = \frac{1}{4}

x_1 = -1

y_1 = 0

t_2 = \frac{3}{4}

x_2 = 1

y_2 = 0.

Como y_1 e y_2 son nulos, puede verse que ambas trayectorias (con velocidad uniforme y con aceleración uniforme) se desarrollarán en línea recta. Ya que, consiguientemente, un gráfico espacial no resultaría muy informativo, podemos presentar ambas trayectorias en un gráfico espacio-temporal:

Diagrama espacio-temporal de las trayectorias recorridas con velocidad y con aceleración unitarias

Diagrama espacio-temporal de las trayectorias recorridas con velocidad y con aceleración unitarias

Si bien esta función de control (única excepto por las ambigüedades propias de trabajar con ángulos)

\theta(t) = \pi H(t - \frac{1}{4}) + \pi H(t - \frac{3}{4})

satisface las tres ecuaciones con las que comenzamos el análisis en el post anterior, no puede cumplir la condición de finitud en las derivadas tal como mencionamos anteriormente. En el próximo post veremos como “redondear” la trayectoria sin que deje de cumplir las ecuaciones requeridas.

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One thought on “Un problema de integrales (II)

  1. […] Febrero 14, 2009 at 1:57 pm (matemática, motion-planning) [Continuación de “Un problema de integrales (II)”] […]

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