Un problema de integrales (III)

[Continuación de “Un problema de integrales (II)“]

En este último post relativo al problema veremos como puede encontrarse una versión “redondeada” de la trayectoria poligonal hallada en el post anterior. Para ello debemos empezar definiendo una forma específica en la que se llevará a cabo el proceso de “redondeo”.

Una forma simple de evitar discontinuidades es utilizar interpolación lineal para reemplazar las discontinuidades por “rampas”. La función de control que utilizaremos (encontrada mediante el bien conocido método de prueba y error 🙂 ) puede describirse como interpolando linealmente entre los siguientes pares tiempo – orientación:

(0, 0), (0.2, 0), (0.3, \theta_1), (0.7, \theta_2), (0.8, \theta_3) y (1, \theta_3).

Entonces, por ejemplo, tendremos:

\theta(0.4) = \frac{0.4 - 0.3}{0.7 - 0.3}\theta(0.7) + \frac{0.7 - 0.4}{0.7 - 0.3}\theta(0.3) = \frac{1}{4}\theta_2+ \frac{3}{4}\theta_1.

Aplicando las restricciones encontradas en el post original a esta función de control parametrizada, encontramos que la primera ecuación se cumple trivialmente por la forma de la familia de funciones de control elegida  y las otras quedarán como

\int_0^1 e^{-i \theta(t; \theta_1, \theta_2, \theta_3)} dt = F(\theta_1, \theta_2, \theta_3) = 0   y

\int_0^1 t e^{-i \theta(t; \theta_1, \theta_2, \theta_3)} dt = G(\theta_1, \theta_2, \theta_3) = 0.

La forma de las funciones F y G es en general demasiado compleja como para permitir una solución analítica (al menos una utilizando los métodos que conozco), pero es posible buscarla por métodos numéricos. Si partimos desde \theta_1 = 2\pi, \theta_2 = \pi y \theta_3 = 2\pi, FindRoot encuentra la siguiente solución:

\theta_1 \to 3.3895398221083102286...

\theta_2 \to 3.2322701447530641984...

\theta_3 \to 6.6218099668613744270....

Los residuos dados por los valores de \theta_1, \theta_2 y \theta_3 con la precisión calculada (1000 decimales) dejan residuos menores que 10^{-995}, por lo que es razonable asumir que la solución es real y no un “numerical artifact”.

Graficando la trayectoria:

Gráfico de la trayectoria

Gráfico de la trayectoria

Detalle del final de la trayectoria, donde se observa que es oblicua al eje X.

Detalle del final de la trayectoria, donde se observa que es oblicua al eje X.

Tal como se observa en la última figura, el valor de \theta(1) dista mucho ser nulo. En efecto, es 0.33862465968178795010....

Resumiendo, hemos construido una función \theta(t) que satisface la tres ecuaciones

\theta(0) = 0,

\int_0^T e^{-i \theta(t)} dt y

\int_0^T t e^{-i \theta(t)} dt

para T = 1 y manteniendo la derivabilidad de \theta(t).

Cabe hacer varias objeciones a esta solución: en primer lugar, puede que haya entendido mal el problema 😀 ; también es posible que la función continua y lineal a trozos no se “suficientemente derivable”. Siempre sería posible repetir el análisis utilizando una partición diferenciable de la unidad para obtener una función \theta(t) que sea C^{\infty}, aunque dudo que esto lleve a un resultado distinto.

Voy a consultarle al autor original del problema para conocer su opinión del contraejemplo; probablemente se refiriera a otra cosa que el problema desarrollado en esta serie de posts pero no se pierde nada preguntando :-). Y ciertamente fue un problema interesante para tratar.

Para terminar, una animación de la trayectoria recorrida con velocidad unitaria y aceleración unitaria:

Animación de la trayectoria. Las flechas representan las velocidades de cada uno de los puntos y puede apreciarse que permanecen paralelas en todo momento.

Animación de la trayectoria. Las flechas representan las velocidades de cada uno de los puntos y puede apreciarse que permanecen paralelas en todo momento.

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