Equidistancia en R^n (parte II)

[Continuación de “Equidistancia en R^n (parte I)“]

Mientras investigaba este problema encontré descrito el siguiente “truco”:

Yes, this linearization trick is pretty standard in computational
geometry. The specific variation you use, mapping a vector v onto
(v,|v|^2), turns circles or more generally spheres in d dimensions
into planes or more generally hyperplanes in d+1 dimensions. Your
equation

     | (x^2  + y^2)   x   y   1 |
     | (x1^2 + y1^2)  x1  y1  1 |  = 0
     | (x2^2 + y2^2)  x2  y2  1 |
     | (x3^2 + y3^2)  x3  y3  1 |

is the standard equation for a plane through three points
(xi,yi,xi^2+yi^2).

Para ver como funciona, podemos partir de la ecuación de una hiperesfera en \mathbb{E}^n (o sea una (n-1)-esfera):

\sum_{i=1}^n (x_i - a_i)^2 = R^2.

Si expandimos el cuadrado podemos obtener la siguiente ecuación

\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2 a_i x_i + a_i^2) = R^2;

reuniendo las constantes en el segundo miembro quedaría

\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \sum_{i=1}^n 2 a_i x_i = R^2 - \sum_{i=1}^n  a_i^2.

Esto es claramente la ecuación de un plano en un espacio con la “nueva coordenada” \sum_{i=1}^n x_i^2. Como es equivalente a la ecuación de la hiperesfera mostrada anteriormente, todos los puntos que estén en ese plano y cumplan la condición de que la coordenada adicional sea \sum_{i=1}^n x_i^2 estarán en la hiperesfera y viceversa.

En el próximo post veremos como se puede aplicar este truco para obtener algunos resultados sobre las hiperesferas en \mathbb{E}^n.

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