Dos problemas probabilísticos

Problema 1

Se tiene un conjunto de un millón de dados, siendo 1/6 la probabilidad de que se obtenga 6 en cada uno de ellos. Si se arrojan todos los dados, cuál es la probabilidad de obtener 6 en en el 20% o más de los mismos?

Este problema se resuelve observando que la cantidad de números seis obtenidos al lanzar una cierta cantidad de dados obedece a una distribución binomial. En este caso, la probabilidad buscada es el valor de la función de distribución binomial siendo k = 800000, n = 1000000 y p = 5/6:

F(800000; 1000000, 5/6) = \sum_{i=0}^{800000} {1000000 \choose i} (5/6)^i (1/6)^{1000000-i}.

Este cálculo es difícil de realizar en forma exacta debido a la magnitud de los números involucrados; es mucho más simple obtener una cota superior aplicando la siguiente desigualdad:

F(k; n, p) \le \exp\left( -2 \frac{(np-k)^2}{n} \right),

con lo que obtenemos la siguiente cota:

F(800000; 1000000, 5/6) \le \exp \left( -2 \frac{(1000000 \cdot (5/6) - 800000)^2}{1000000} \right)

F(800000; 1000000, 5/6) \le \exp \left( -2222 \right) \approx 10^{-965}

Puede observarse que es un valor extremadamente bajo.

Problema 2

Se tiene un conjunto de un millón de dadoshipotecas, siendo 1/6 la probabilidad de que se obtenga 6 en cada uno de ellosno se pague una de ellas al cabo de un añoSi se arrojan todos los dadosUna vez transcurrido ese periodo, cuál es la probabilidad de obtener 6 enque no se haya pagado el 20% o más de los mismoslas mismas?

A pesar de las apariencias, es un problema muy distinto al anterior. Las hipótesis implícitas pueden hacer una enorme diferencia en los resultados.

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