Infinito menos infinito

Muchas de las condiciones de aplicabilidad de los teoremas pueden ignorarse en la gran mayoría de los casos que se dan en la práctica. Por ejemplo, las condiciones de continuidad requeridas para poder asegurar la igualdad de “las derivadas parciales mixtas” se dan en todos los casos de interés práctico.  Asimismo, si tenemos en \mathbb{R}^3 un objeto topológicamente similar a una esfera, solo en casos patológicos puede tener un exterior que no sea simplemente conexo.

Pero un caso donde pueden darse particularmente esta clase de problemas (:-D) es en el manejo de integrales impropias. Supongamos que deseamos resolver la siguiente integral

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx.

Mediante el método ordinario de fracciones simples llegamos a lo siguiente:

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} dx = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx - \int_1^{\infty} \frac{1}{x+1} dx.

Pero estas dos integrales divergen, dejándonos en una indeterminación del tipo \infty - \infty… solo que esta no es real, ya que la última igualdad que escribimos no es correcta. Una integral impropia es esencialmente un límite y la posibilidad de intercambiar el límite de una operación con la operación aplicada sobre los límites de los operandos solo se aplica en el caso de que estos últimos estén definidos.

Una forma correcta de resolver este problema es hacer explícito el límite:

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \int_1^{\infty} \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} dx

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \lim \limits_{b \to \infty}\int_1^b \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} dx

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \lim \limits_{b \to \infty}\left[ \int_1^b \frac{1}{x} dx - \int_1^b \frac{1}{x+1} dx \right]

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \lim \limits_{b \to \infty}\left[ \ln b - (\ln b - \ln 2) \right]

\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2+x} dx = \ln 2.

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