Otro problema de integrales (I)

Advertencia: cálculos extremadamente molestos a continuación…

El problema

Mirando el sitio de Chris Lomont, aparte de un interesante análisis del famoso bug del Excel 2007, encontré el siguiente problema:

For a very challenging integration problem, solvable with 3rd semester calculus, look to the textbook, “Calculus and Analytic Geometry”, 6th edition, by
George B. Thomas and Ross L. Finney. The following problem appears in section 16.7 on multiple integration:

37. WARNING: Hard problem. Setting up the integral is straightforward, but integrating the result takes hours. (It took MACYSMA 20 minutes.)

A square hole of side length 2b is cut symmetrically through a sphere of radius a (a > b * sqrt(2)). Find the volume removed.

This is easy to set up – but try to integrate it using undergrad methods…. Very hard 🙂

Obviamente eso me llevó irresistiblemente a tratar de resolverlo con métodos elementales de integración (o sea con los únicos que conozco…).

El problema se reduce esencialmente a evaluar la siguiente integral doble:

\displaystyle 2\int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2}\ \ \ \ (1).

Arcoseno

Para empezar podemos intentar resolver la integral de \sqrt{1-x^2} que debería ser equivalente aparte de algunos términos de escala pero no es fácil ver como empezar. Lo único que recuerdo respecto a esa clase de integrales es que solían involucrar arcosenos, pero no recuerdo la derivada exacta de dicha función. Probando en lugar de fijarme en una tabla…

\displaystyle \frac{d}{dx}x = 1

\displaystyle \frac{d}{dx}\arcsin\sin x = 1

\displaystyle \arcsin'(\sin x)\cos x = 1 (regla de la cadena)

\displaystyle \arcsin'(\sin x) = \frac{1}{cos x}

\displaystyle \arcsin'(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} (reemplazo u = \sin x)

Por si es útil ( 😀 ), obtengo la integral indefinida:

\displaystyle \int dx\ \arcsin x = \int dx\ 1\ \arcsin x

\displaystyle \int dx\ \arcsin x = x\arcsin x - \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resolviendo esta otra integral indefinida tenemos:

\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int (-2x\ dx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int du\,\frac{1}{\sqrt{u}}

\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int du\,u^{-1/2}

\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}2u^{1/2}

\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (2)

Aplicando este resultado en la integral anterior:

\displaystyle \int dx\ \arcsin x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (3)

Una integral

Mediante algunas operaciones podemos llegar a:

\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \int_{-b}^{b} dx \frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}

\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \int_{-b}^{b} dx (1 - x)\frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}}.

\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \left[(1-x)\int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\right]_{-b}^b +\\ \int_{-b}^b dx\ \int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\ \ \ \ (4)

Resolviendo la integral indefinida que aparece dos veces en (4)

\displaystyle \int dx\ \frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}} = \int dx\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \int dx\ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

\displaystyle \int dx\ \frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x -\sqrt{1-x^2} (aplicando (2))

y sustituyendo en cada uno de los términos tenemos:

\displaystyle T_1 = \left[(1-x)\int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\right]_{-b}^b

\displaystyle T_1 = \left[(1-x)\left(\arcsin x - \sqrt{1-x^2}\right)\right]_{-b}^b

\displaystyle T_1 = \left[\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}\right]_{-b}^b (eliminando términos pares)

\displaystyle T_1 = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2}\ \ \ \ (5)

\displaystyle T_2 = \int_{-b}^b dx\ \int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}

\displaystyle T_2 = \int_{-b}^b dx\ \arcsin x - \sqrt{1-x^2}

\displaystyle T_2 =  \left[x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right]_{-b}^b - \int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}

\displaystyle T_2 =  -\int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (6)

Reemplazando en (4) los valores de los términos obtenidos en (5) y (6):

\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2} - \int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}

\displaystyle 2\int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2}.

Finalmente llegamos a:

\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \arcsin b + b\sqrt{1-b^2}\ \ \ \ (7).

Aplicación a la integral original del resultado de esta primera integral

Si trabajamos un poco con al expresión de (1) veremos que puede reducirse a una forma idéntica a la resuelta como (7):

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\int_{-b}^{b}dx \sqrt{(a^2-y^2)-x^2}

Si hacemos \lambda = \sqrt{a^2-y^2} para simplificar las expresiones:

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\int_{-b}^{b}dx \sqrt{\lambda^2-x^2}

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda\int_{-b}^{b}dx \sqrt{\frac{\lambda^2-x^2}{\lambda^2}}

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda\int_{-b}^{b}dx \sqrt{1 - \frac{x^2}{\lambda^2}}

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda^2\int_{-b}^{b}\left(\frac{dx}{\lambda}\right) \sqrt{1 - \left(\frac{x}{\lambda}\right)^2}

\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda^2\int_{-b/\lambda}^{b/\lambda}du\ \sqrt{1 - u^2}

Aplicado el resultado obtenido en (7):

\displaystyle 2\int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = 2\int_{-b}^{b}dy\lambda^2\left(\arcsin \frac{b}{\lambda} + \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2}\right)

Trabajando con los términos del paréntesis:

\displaystyle \lambda^2 \arcsin \frac{b}{\lambda} = (a^2-y^2) \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2-y^2}}

\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{\lambda^2\left(1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2\right)}

\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{\lambda^2 - b^2}

\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{(a^2 - b^2) - y^2}

De este modo la integral en (1) queda expresada como

\displaystyle 2\int_{-b}^{b} dy\ (a^2-y^2) \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2-y^2}} + 2\int_{-b}^{b} dy\ b\sqrt{(a^2 - b^2) - y^2}\ \ \ \ (8).

En un próximo post analizaremos como resolver esta segunda integral (fundamentalmente el primer término, el segundo se reduce a la integral resuelta en este post).

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Tres plataformas – Solución (I)

(Continuación de Tres plataformas políticas.)

Nota: por ser excesivamente largo el borrador (y para evitar aburrirme escribiendo sobre un mismo tema 😀 ) decidí dividir al post con la solución al problema planteado en varias secciones. En esta sección trataré la elección de plataforma por parte del “último partido” en función de la elección realizada por los otros dos.

Para empezar con este problema debemos determinar primero una expresión que nos permita conocer la cantidad de votos que recibirá cada partido en función de como sitúe su plataforma. Si llamamos x, y y z a las posiciones de las plataformas de los partidos A, B y C, respectivamente (que asumimos no coincidentes), podemos definir a tres variables auxiliares u, v y w que cumplan:

u < v < w \wedge u, v, w \in \{x, y, z\} (o sea serían una versión "en orden" de x, y, z).

Una vez hecha esta determinación, podemos definir fácilmente la fracción de votos f que recibirá cada una de estas variables auxiliares, ya que conocemos su posición respecto a las otras:

f(u) = u + (v - u) / 2 = (u + v) / 2

f(v) = (v - u) / 2 + (w - v) / 2 = (w - u) / 2

f(w) = (w - v) / 2 + (1 - w) = 1 - (v + w) / 2.

Para poder razonar la elección de plataforma que realizará el último de los partidos (C) podemos obtener una función g(x, y, z) que represente la fracción de votos obtenida por C de acuerdo a los valores de x, y y z. Esta función constará simplemente de una de las tres funciones anteriores, estando la elección determinada por cuál de las variables u, v, w corresponde a z:

g(x, y, z) = \begin{cases} (z + \min(x, y)) / 2 & \quad z = u\\(\max(x, y) - \min(x, y)) / 2 & \quad z = v\\ 1 - (\max(x, y) + z)/2 & \quad z = w\end{cases}

Haciendo uso de una propiedad del valor absoluto y reformulando las condiciones para hacerlas independientes de las variables auxiliares:

g(x, y, z) = \begin{cases} (z + \min(x, y)) / 2 & \quad z < \min(x,y)\\ |y-x|/2 & \quad z \in (\min(x,y), \max(x,y)) \\ 1 - (\max(x, y) + z)/2 & \quad z > \max(x,y)\end{cases}.

Siendo g(x_0, y_0, z) (o sea la función de una variable g(x, y, z)|_{x=x_0,y=y_0}) una función lineal a trozos, su máximo estará dado por el mayor entre los máximos propios de cada una de las partes en las que se divide su dominio, o sea

\displaystyle \max_{z \in [0, 1]} g(x_0, y_0, z) = \max( \min(x_0, y_0),\,  |y_0 - x_0| / 2,\,  1 - \max(x_0, y_0) ).

Esta expresión no es del todo correcta, ya que no se permite tomar un valor de z igual a v pero, como pueden tomarse valores arbitrariamente próximos, esto no afecta la comparación de las alternativas con distinto valor. Por lo tanto, C deberá elegir una plataforma z de acuerdo al siguiente algoritmo:

  1. Determinar M = \max( \min(x_0, y_0),\,  |y_0 - x_0| / 2,\,  1 - \max(x_0, y_0) ).
  2. En caso que…
    1. M = \min(x_0, y_0): elegir z = \min(x_0, y_0) - \epsilon.
    2. M = |y_0 - x_0| / 2: elegir un z arbitrario en (\min(x_0, y_0), \max(x_0, y_0)).
    3. M = 1 - \max(x_0, y_0): elegir z = \max(x_0, y_0) + \epsilon.

En los próximos posts de esta serie veremos como se ven afectadas las decisiones de B y A por el conocimiento de como decidirá C.

Tres plataformas políticas

En su blog, Adrián Paenza propone un problema sobre la aplicación de la teoría de juegos a la elección de plataformas políticas (gracias Guille!).

El problema planteado por Paenza

La idea básica es suponer un espectro político lineal al que identificamos con el intervalo numérico [0, 1] y asociar la elección de una plataforma con la selección de un punto dentro de ese intervalo. Se supone que los votantes están distribuidos dentro del intervalo en forma uniforme (esto no es en realidad problemático) y que elegirán la plataforma que es más cercana a su posición en el espectro político.

Bajo esas condiciones, supongamos que dos partidos llamados A y B deben elegir su plataforma buscando obtener la mayor cantidad posible de votos. A debe elegirla primero y B debe hacerlo después, conociendo ya la elección realizada por A. La pregunta es: dónde deben situar sus plataformas A y B?

Una variante

Como deberían actuar 3 partidos en las mismas condiciones? n partidos?

En unos días publicaré mis ideas al respecto 😀 .