Tres plataformas – Solución (I)

(Continuación de Tres plataformas políticas.)

Nota: por ser excesivamente largo el borrador (y para evitar aburrirme escribiendo sobre un mismo tema 😀 ) decidí dividir al post con la solución al problema planteado en varias secciones. En esta sección trataré la elección de plataforma por parte del “último partido” en función de la elección realizada por los otros dos.

Para empezar con este problema debemos determinar primero una expresión que nos permita conocer la cantidad de votos que recibirá cada partido en función de como sitúe su plataforma. Si llamamos x, y y z a las posiciones de las plataformas de los partidos A, B y C, respectivamente (que asumimos no coincidentes), podemos definir a tres variables auxiliares u, v y w que cumplan:

$u < v < w \wedge u, v, w \in \{x, y, z\}$ (o sea serían una versión "en orden" de x, y, z).

Una vez hecha esta determinación, podemos definir fácilmente la fracción de votos $f$ que recibirá cada una de estas variables auxiliares, ya que conocemos su posición respecto a las otras:

$f(u) = u + (v - u) / 2 = (u + v) / 2$

$f(v) = (v - u) / 2 + (w - v) / 2 = (w - u) / 2$

$f(w) = (w - v) / 2 + (1 - w) = 1 - (v + w) / 2$ .

Para poder razonar la elección de plataforma que realizará el último de los partidos (C) podemos obtener una función $g(x, y, z)$ que represente la fracción de votos obtenida por C de acuerdo a los valores de x, y y z. Esta función constará simplemente de una de las tres funciones anteriores, estando la elección determinada por cuál de las variables u, v, w corresponde a z:

$g(x, y, z) = \begin{cases} (z + \min(x, y)) / 2 & \quad z = u\\(\max(x, y) - \min(x, y)) / 2 & \quad z = v\\ 1 - (\max(x, y) + z)/2 & \quad z = w\end{cases}$

Haciendo uso de una propiedad del valor absoluto y reformulando las condiciones para hacerlas independientes de las variables auxiliares:

$g(x, y, z) = \begin{cases} (z + \min(x, y)) / 2 & \quad z < \min(x,y)\\ |y-x|/2 & \quad z \in (\min(x,y), \max(x,y)) \\ 1 - (\max(x, y) + z)/2 & \quad z > \max(x,y)\end{cases}$ .

Siendo $g(x_0, y_0, z)$ (o sea la función de una variable $g(x, y, z)|_{x=x_0,y=y_0}$ ) una función lineal a trozos, su máximo estará dado por el mayor entre los máximos propios de cada una de las partes en las que se divide su dominio, o sea

$\displaystyle \max_{z \in [0, 1]} g(x_0, y_0, z) = \max( \min(x_0, y_0),\, |y_0 - x_0| / 2,\, 1 - \max(x_0, y_0) )$ .

Esta expresión no es del todo correcta, ya que no se permite tomar un valor de z igual a v pero, como pueden tomarse valores arbitrariamente próximos, esto no afecta la comparación de las alternativas con distinto valor. Por lo tanto, C deberá elegir una plataforma z de acuerdo al siguiente algoritmo:

Determinar $M = \max( \min(x_0, y_0),\, |y_0 - x_0| / 2,\, 1 - \max(x_0, y_0) )$ .
En caso que…
1. $M = \min(x_0, y_0)$ : elegir $z = \min(x_0, y_0) - \epsilon$ .
2. $M = |y_0 - x_0| / 2$ : elegir un $z$ arbitrario en $(\min(x_0, y_0), \max(x_0, y_0))$ .
3. $M = 1 - \max(x_0, y_0)$ : elegir $z = \max(x_0, y_0) + \epsilon$ .