Otro problema de integrales (I)

Advertencia: cálculos extremadamente molestos a continuación…

El problema

Mirando el sitio de Chris Lomont, aparte de un interesante análisis del famoso bug del Excel 2007, encontré el siguiente problema:

For a very challenging integration problem, solvable with 3rd semester calculus, look to the textbook, “Calculus and Analytic Geometry”, 6th edition, by
George B. Thomas and Ross L. Finney. The following problem appears in section 16.7 on multiple integration:

37. WARNING: Hard problem. Setting up the integral is straightforward, but integrating the result takes hours. (It took MACYSMA 20 minutes.)

A square hole of side length 2b is cut symmetrically through a sphere of radius a (a > b * sqrt(2)). Find the volume removed.

This is easy to set up – but try to integrate it using undergrad methods…. Very hard 🙂

Obviamente eso me llevó irresistiblemente a tratar de resolverlo con métodos elementales de integración (o sea con los únicos que conozco…).

El problema se reduce esencialmente a evaluar la siguiente integral doble:

$\displaystyle 2\int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2}\ \ \ \ (1)$ .

Arcoseno

Para empezar podemos intentar resolver la integral de $\sqrt{1-x^2}$ que debería ser equivalente aparte de algunos términos de escala pero no es fácil ver como empezar. Lo único que recuerdo respecto a esa clase de integrales es que solían involucrar arcosenos, pero no recuerdo la derivada exacta de dicha función. Probando en lugar de fijarme en una tabla…

$\displaystyle \frac{d}{dx}x = 1$

$\displaystyle \frac{d}{dx}\arcsin\sin x = 1$

$\displaystyle \arcsin'(\sin x)\cos x = 1$ (regla de la cadena)

$\displaystyle \arcsin'(\sin x) = \frac{1}{cos x}$

$\displaystyle \arcsin'(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ (reemplazo $u = \sin x$ )

Por si es útil ( 😀 ), obtengo la integral indefinida:

$\displaystyle \int dx\ \arcsin x = \int dx\ 1\ \arcsin x$

$\displaystyle \int dx\ \arcsin x = x\arcsin x - \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Resolviendo esta otra integral indefinida tenemos:

$\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int (-2x\ dx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int du\,\frac{1}{\sqrt{u}}$

$\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}\int du\,u^{-1/2}$

$\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\frac{1}{2}2u^{1/2}$

$\displaystyle \int dx\ x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = -\sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (2)$

Aplicando este resultado en la integral anterior:

$\displaystyle \int dx\ \arcsin x = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (3)$

Una integral

Mediante algunas operaciones podemos llegar a:

$\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \int_{-b}^{b} dx \frac{1 - x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \int_{-b}^{b} dx (1 - x)\frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

$\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \left[(1-x)\int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\right]_{-b}^b +\\ \int_{-b}^b dx\ \int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\ \ \ \ (4)$

Resolviendo la integral indefinida que aparece dos veces en (4)

$\displaystyle \int dx\ \frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}} = \int dx\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \int dx\ \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\displaystyle \int dx\ \frac{1+x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x -\sqrt{1-x^2}$ (aplicando (2))

y sustituyendo en cada uno de los términos tenemos:

$\displaystyle T_1 = \left[(1-x)\int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}\right]_{-b}^b$

$\displaystyle T_1 = \left[(1-x)\left(\arcsin x - \sqrt{1-x^2}\right)\right]_{-b}^b$

$\displaystyle T_1 = \left[\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}\right]_{-b}^b$ (eliminando términos pares)

$\displaystyle T_1 = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2}\ \ \ \ (5)$

$\displaystyle T_2 = \int_{-b}^b dx\ \int^x du\ \frac{1+u}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\displaystyle T_2 = \int_{-b}^b dx\ \arcsin x - \sqrt{1-x^2}$

$\displaystyle T_2 = \left[x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right]_{-b}^b - \int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}$

$\displaystyle T_2 = -\int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}\ \ \ \ (6)$

Reemplazando en (4) los valores de los términos obtenidos en (5) y (6):

$\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2} - \int_{-b}^b dx\ \sqrt{1-x^2}$

$\displaystyle 2\int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = 2\arcsin b + 2b\sqrt{1-b^2}$ .

Finalmente llegamos a:

$\displaystyle \int_{-b}^{b} dx \sqrt{1 - x^2} = \arcsin b + b\sqrt{1-b^2}\ \ \ \ (7)$ .

Aplicación a la integral original del resultado de esta primera integral

Si trabajamos un poco con al expresión de (1) veremos que puede reducirse a una forma idéntica a la resuelta como (7):

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\int_{-b}^{b}dx \sqrt{(a^2-y^2)-x^2}$

Si hacemos $\lambda = \sqrt{a^2-y^2}$ para simplificar las expresiones:

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\int_{-b}^{b}dx \sqrt{\lambda^2-x^2}$

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda\int_{-b}^{b}dx \sqrt{\frac{\lambda^2-x^2}{\lambda^2}}$

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda\int_{-b}^{b}dx \sqrt{1 - \frac{x^2}{\lambda^2}}$

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda^2\int_{-b}^{b}\left(\frac{dx}{\lambda}\right) \sqrt{1 - \left(\frac{x}{\lambda}\right)^2}$

$\displaystyle \int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = \int_{-b}^{b}dy\lambda^2\int_{-b/\lambda}^{b/\lambda}du\ \sqrt{1 - u^2}$

Aplicado el resultado obtenido en (7):

$\displaystyle 2\int_{-b}^{b}dx\int_{-b}^{b}dy \sqrt{a^2-x^2-y^2} = 2\int_{-b}^{b}dy\lambda^2\left(\arcsin \frac{b}{\lambda} + \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2}\right)$

Trabajando con los términos del paréntesis:

$\displaystyle \lambda^2 \arcsin \frac{b}{\lambda} = (a^2-y^2) \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2-y^2}}$

$\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{\lambda^2\left(1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2\right)}$

$\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{\lambda^2 - b^2}$

$\displaystyle \lambda^2 \frac{b}{\lambda}\sqrt{1-\left(\frac{b}{\lambda}\right)^2} = b\sqrt{(a^2 - b^2) - y^2}$

De este modo la integral en (1) queda expresada como

$\displaystyle 2\int_{-b}^{b} dy\ (a^2-y^2) \arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2-y^2}} + 2\int_{-b}^{b} dy\ b\sqrt{(a^2 - b^2) - y^2}\ \ \ \ (8)$ .

En un próximo post analizaremos como resolver esta segunda integral (fundamentalmente el primer término, el segundo se reduce a la integral resuelta en este post).

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