Un problema de termos

[Este es un problema inspirado por experiencias reales… ]

Partiendo de un termo lleno con agua a 80 °C, consideremos los dos escenarios siguientes:

  • Se consume el 90% del contenido del termo, se deja el termo por 5 horas y luego se completa al 100% con agua a 80 °C.
  • Se consume solo el 10% del contenido del termo, se deja el termo por las mismas 5 horas y luego se completa al 100% nuevamente con agua a 80 °C.

En cual de lo casos la temperatura final del agua será mayor? Qué suposiciones deben realizarse para llegar a esta conclusión? (Solo las difíciles de justificar, no cosas como “la temperatura de la habitación debe ser menor a 80 °C”… :-P)

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Calculando el volumen de esferas en n dimensiones

Por mucho tiempo me pregunté como podría calcularse el volumen de una n-esfera. O sea, es claro que puede hacerse mediante una integración en coordenadas “hiperesféricas”, pero mi intuición es bastante limitada al respecto y no me queda para nada claro como debería ser el jacobiano correspondiente… A continuación sigo el desarrollo muy claro expuesto por Zwiebach.

En primer lugar debemos distinguir entre esferas y bolas, siendo una esfera n dimensional la frontera de una bola n + 1 dimensional. Por lo tanto un disco en el plano sería una 2-bola, mientras que lo que normalmente llamaríamos la superficie de una esfera se llamará 2-esfera. Más formalmente:

S_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = R^2\}

B_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le R^2\}.

La dependencia de los volúmenes con el radio será bastante simple como podemos determinar mediante un simple cambio de variable,

vol(S_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(S_n(1)) = R^n vol(S_n) y

vol(B_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(B_n),

por lo que podrá restringirse el problema al cálculo del volumen de una esfera o bola unitaria.

Para calcular el volumen de una n-esfera unitaria procederemos a evaluar la siguiente integral gaussiana en dos formas distintas:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2}

siendo r la distancia al origen.

En primer lugar podemos evaluarla expandiendo la exponencial en un producto y aplicando el conocido valor de una integral gaussiana básica:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-x_1^2}e^{-x_2^2}\,...\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx_1\,e^{-x_1^2}\int_{-\infty}^{+\infty} dx_2\,e^{-x_2^2}\,...\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx_n\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,e^{-x^2}\right)^n

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \pi^{n/2}.

Por otro lado, podemos tener en cuenta que la función exponencial tiene el mismo valor para cada valor de r:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,\int_{S_{n-1}(r)} dS\,e^{-r^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\,\int_{S_{n-1}(r)} dS

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}) r^{n-1}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \mathrm{vol}(S_{n-1}) \int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2}.

Concentrándonos en resolver la última integral, podemos resolverla aplicando la sustitución u = r^2:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} 2r\,dr\,r^{n-2} e^{-r^2}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^\frac{n-2}{2} e^{-u}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^{\frac{n}{2}-1} e^{-u}.

Siendo esta última integral esencialmente la definición de la función gamma, tenemos:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2} \Gamma(n/2) y por consiguiente

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2).

Si ahora igualamos ambas expresiones de la integral tendremos:

\pi^{n/2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2)

\mathrm{vol}(S_{n-1}) = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.

Restaurando la dependencia del radio:

\mathrm{vol}(S_{n}(R)) = \frac{2\pi^{(n+1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)} R^n.

El volumen de una n-bola es casi inmediato:

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} r^{n-1}

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{2\pi^{n/2}}{n \Gamma(n/2)} R^n

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} R^n,

donde el último paso utiliza la propiedad más conocida de la función gamma:

\Gamma(z + 1) = z \Gamma(z).