Un problema de termos

[Este es un problema inspirado por experiencias reales… ]

Partiendo de un termo lleno con agua a 80 °C, consideremos los dos escenarios siguientes:

  • Se consume el 90% del contenido del termo, se deja el termo por 5 horas y luego se completa al 100% con agua a 80 °C.
  • Se consume solo el 10% del contenido del termo, se deja el termo por las mismas 5 horas y luego se completa al 100% nuevamente con agua a 80 °C.

En cual de lo casos la temperatura final del agua será mayor? Qué suposiciones deben realizarse para llegar a esta conclusión? (Solo las difíciles de justificar, no cosas como “la temperatura de la habitación debe ser menor a 80 °C”… :-P)

Advertisements

Tesis defendida!

El jueves pasado hice la defensa de la tesis, por la que había comenzado este blog hace ya más de dos años. Pueden bajarla desde la página del repositorio de tesis de grado de la Facultad.

A continuación algunas fotos después de la defensa:

Con compañeros de la facultad.

Con compañeros de la facultad (Demian, Pablo, yo, Fer y Guille - en el orden obvio).

Con mis padres.

Con mis padres.

Con mi hermano.

Con mi hermano.

Calculando el volumen de esferas en n dimensiones

Por mucho tiempo me pregunté como podría calcularse el volumen de una n-esfera. O sea, es claro que puede hacerse mediante una integración en coordenadas “hiperesféricas”, pero mi intuición es bastante limitada al respecto y no me queda para nada claro como debería ser el jacobiano correspondiente… A continuación sigo el desarrollo muy claro expuesto por Zwiebach.

En primer lugar debemos distinguir entre esferas y bolas, siendo una esfera n dimensional la frontera de una bola n + 1 dimensional. Por lo tanto un disco en el plano sería una 2-bola, mientras que lo que normalmente llamaríamos la superficie de una esfera se llamará 2-esfera. Más formalmente:

S_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = R^2\}

B_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le R^2\}.

La dependencia de los volúmenes con el radio será bastante simple como podemos determinar mediante un simple cambio de variable,

vol(S_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(S_n(1)) = R^n vol(S_n) y

vol(B_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(B_n),

por lo que podrá restringirse el problema al cálculo del volumen de una esfera o bola unitaria.

Para calcular el volumen de una n-esfera unitaria procederemos a evaluar la siguiente integral gaussiana en dos formas distintas:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2}

siendo r la distancia al origen.

En primer lugar podemos evaluarla expandiendo la exponencial en un producto y aplicando el conocido valor de una integral gaussiana básica:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-x_1^2}e^{-x_2^2}\,...\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx_1\,e^{-x_1^2}\int_{-\infty}^{+\infty} dx_2\,e^{-x_2^2}\,...\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx_n\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,e^{-x^2}\right)^n

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \pi^{n/2}.

Por otro lado, podemos tener en cuenta que la función exponencial tiene el mismo valor para cada valor de r:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,\int_{S_{n-1}(r)} dS\,e^{-r^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\,\int_{S_{n-1}(r)} dS

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}) r^{n-1}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \mathrm{vol}(S_{n-1}) \int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2}.

Concentrándonos en resolver la última integral, podemos resolverla aplicando la sustitución u = r^2:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} 2r\,dr\,r^{n-2} e^{-r^2}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^\frac{n-2}{2} e^{-u}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^{\frac{n}{2}-1} e^{-u}.

Siendo esta última integral esencialmente la definición de la función gamma, tenemos:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2} \Gamma(n/2) y por consiguiente

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2).

Si ahora igualamos ambas expresiones de la integral tendremos:

\pi^{n/2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2)

\mathrm{vol}(S_{n-1}) = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.

Restaurando la dependencia del radio:

\mathrm{vol}(S_{n}(R)) = \frac{2\pi^{(n+1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)} R^n.

El volumen de una n-bola es casi inmediato:

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} r^{n-1}

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{2\pi^{n/2}}{n \Gamma(n/2)} R^n

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} R^n,

donde el último paso utiliza la propiedad más conocida de la función gamma:

\Gamma(z + 1) = z \Gamma(z).