Calculando el volumen de esferas en n dimensiones

Por mucho tiempo me pregunté como podría calcularse el volumen de una n-esfera. O sea, es claro que puede hacerse mediante una integración en coordenadas “hiperesféricas”, pero mi intuición es bastante limitada al respecto y no me queda para nada claro como debería ser el jacobiano correspondiente… A continuación sigo el desarrollo muy claro expuesto por Zwiebach.

En primer lugar debemos distinguir entre esferas y bolas, siendo una esfera n dimensional la frontera de una bola n + 1 dimensional. Por lo tanto un disco en el plano sería una 2-bola, mientras que lo que normalmente llamaríamos la superficie de una esfera se llamará 2-esfera. Más formalmente:

S_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = R^2\}

B_n(R) = \{(x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le R^2\}.

La dependencia de los volúmenes con el radio será bastante simple como podemos determinar mediante un simple cambio de variable,

vol(S_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(S_n(1)) = R^n vol(S_n) y

vol(B_n(R)) = R^n \mathrm{vol}(B_n),

por lo que podrá restringirse el problema al cálculo del volumen de una esfera o bola unitaria.

Para calcular el volumen de una n-esfera unitaria procederemos a evaluar la siguiente integral gaussiana en dos formas distintas:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2}

siendo r la distancia al origen.

En primer lugar podemos evaluarla expandiendo la exponencial en un producto y aplicando el conocido valor de una integral gaussiana básica:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-x_1^2}e^{-x_2^2}\,...\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} dx_1\,e^{-x_1^2}\int_{-\infty}^{+\infty} dx_2\,e^{-x_2^2}\,...\,\int_{-\infty}^{+\infty} dx_n\,e^{-x_n^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,e^{-x^2}\right)^n

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \pi^{n/2}.

Por otro lado, podemos tener en cuenta que la función exponencial tiene el mismo valor para cada valor de r:

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,\int_{S_{n-1}(r)} dS\,e^{-r^2}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\,\int_{S_{n-1}(r)} dS

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \int_0^{+\infty} dr\,e^{-r^2}\mathrm{vol}(S_{n-1}) r^{n-1}

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \mathrm{vol}(S_{n-1}) \int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2}.

Concentrándonos en resolver la última integral, podemos resolverla aplicando la sustitución u = r^2:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} 2r\,dr\,r^{n-2} e^{-r^2}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^\frac{n-2}{2} e^{-u}

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} du\,u^{\frac{n}{2}-1} e^{-u}.

Siendo esta última integral esencialmente la definición de la función gamma, tenemos:

\int_0^{+\infty} dr\,r^{n-1} e^{-r^2} = \frac{1}{2} \Gamma(n/2) y por consiguiente

\int_{\mathbb{R}^n} d^n\!x\,e^{-r^2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2).

Si ahora igualamos ambas expresiones de la integral tendremos:

\pi^{n/2} = \frac{1}{2} \mathrm{vol}(S_{n-1}) \Gamma(n/2)

\mathrm{vol}(S_{n-1}) = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}.

Restaurando la dependencia del radio:

\mathrm{vol}(S_{n}(R)) = \frac{2\pi^{(n+1)/2}}{\Gamma((n+1)/2)} R^n.

El volumen de una n-bola es casi inmediato:

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\mathrm{vol}(S_{n-1}(r))

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \int_0^R dr\,\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)} r^{n-1}

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{2\pi^{n/2}}{n \Gamma(n/2)} R^n

\mathrm{vol}(B_{n}(R)) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} R^n,

donde el último paso utiliza la propiedad más conocida de la función gamma:

\Gamma(z + 1) = z \Gamma(z).

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11 thoughts on “Calculando el volumen de esferas en n dimensiones

  1. yul goncalves says:

    Interesante, ya sabía el resultado, pero no me había detenido a ver como demostrarlo. Llegué por aquí, porque estoy interesado en el volumen n-dimensional de un toro o toroide. Necesito esa ayuda.

    • mchouza says:

      Lamentablemente no conozco la respuesta y no pude encontrarla googleando un poco. Veo dos posibles formas de resolver el problema: parametrizando e integrando (probablemente puedas llegar a una recurrencia con el volumen de toroides de dimensionalidad inferior) o buscando una generalización n-dimensional del teorema del centroide de Pappus. Una vez que tengas una fórmula, no es muy difícil chequearla con integración numérica.

      Es un problema interesante, pero dudo que tenga tiempo para atacarlo…

  2. Héctor says:

    Hola, sabes, también estoy buscando este volumen, y la explicación me parece muy buena, pero tengo na duda que no me deja en paz…
    en la parte donde dices:
    “”Por otro lado, podemos tener en cuenta que la función exponencial tiene el mismo valor para cada valor de :””
    el primer paso que haces no lo entiendo, es lo único que me sigue dando vueltas….. tu ayuda me solucionaría un gran problema
    gracias

    • mchouza says:

      Es un cambio de variables. Cada elemento de “volumen” n-dimensional lo expreso como el producto de un elemento de “área” (n-1)-dimensional y un diferencial en la dirección radial.

      Haciendo el ejemplo en 3D con una función arbitraria f(r):

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,\int_{S_2(r)} dS\,f(r),

      donde S_2(r) una esfera 2D de radio r. En este caso, lógicamente, la integral sobre S_2(r) de dS es la superficie de una esfera de radio r, 4\pi\,r^2.

      Reemplazando:

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,4\pi\,r^2\,f(r)

      Otra forma de verlo es como un pasaje a coordenadas esféricas:

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,\int_{0}^{2\pi} d\phi\,\int_{0}^{\pi} d\theta r^2\,\sin\theta \,f(r),

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,f(r)\,\int_{0}^{2\pi} d\phi\,\int_{0}^{\pi} d\theta r^2\,\sin\theta,

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,f(r)\,\mathrm{Area}(S_2(r)),

      \int_{\mathbb{R}^3} d^3\!x\,f(r) = \int_0^{+\infty} dr\,f(r)\,4\pi\,r^2.

  3. Saludos vuelvo por aquí, para mostrarle el siguiente enlace

    http://materiayenergiaoscura.blogspot.com/

    Donde escribí una aplicación interesante a mi parecer, donde a través de la esfera n-dimensional, pudiera darse una explicación de los porcentajes de materia visible, materia oscura y energia oscura en el universo. Allí aparece el toroide, y por eso mi interes, tal vez una profundidad matemática pueda añadir y complementar las cosas que quiero mostrar.

  4. […] Fuente: https://mchouza.wordpress.com/2009/08/17/calculando-el-volumen-de-esferas-en-n-dimensiones/ […]

  5. Rolando says:

    Hola que tal, soy un alumno de pregrado de fisica y justo vimos en mi clase de mecanica estadistica un ensemble uniforme donde teniamos que hallar el volumen de una esfera de n dimensiones (Para nuestro caso era f dimensiones en el plano fase). Tu explicacion me ayudo mucho a entender de donde salia la respuesta. Gracias !

  6. Ricardo says:

    en la fórmula final, antes de la parte que dice “donde el último paso utiliza la propiedad más conocida de la función gamma:” el exponente que se muestra es (n/2+1), debería ser: ((n/2)+1)

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