Un problema de integrales (III)

[Continuación de “Un problema de integrales (II)“]

En este último post relativo al problema veremos como puede encontrarse una versión “redondeada” de la trayectoria poligonal hallada en el post anterior. Para ello debemos empezar definiendo una forma específica en la que se llevará a cabo el proceso de “redondeo”.

Una forma simple de evitar discontinuidades es utilizar interpolación lineal para reemplazar las discontinuidades por “rampas”. La función de control que utilizaremos (encontrada mediante el bien conocido método de prueba y error 🙂 ) puede describirse como interpolando linealmente entre los siguientes pares tiempo – orientación:

(0, 0), (0.2, 0), (0.3, \theta_1), (0.7, \theta_2), (0.8, \theta_3) y (1, \theta_3).

Entonces, por ejemplo, tendremos:

\theta(0.4) = \frac{0.4 - 0.3}{0.7 - 0.3}\theta(0.7) + \frac{0.7 - 0.4}{0.7 - 0.3}\theta(0.3) = \frac{1}{4}\theta_2+ \frac{3}{4}\theta_1.

Aplicando las restricciones encontradas en el post original a esta función de control parametrizada, encontramos que la primera ecuación se cumple trivialmente por la forma de la familia de funciones de control elegida  y las otras quedarán como

\int_0^1 e^{-i \theta(t; \theta_1, \theta_2, \theta_3)} dt = F(\theta_1, \theta_2, \theta_3) = 0   y

\int_0^1 t e^{-i \theta(t; \theta_1, \theta_2, \theta_3)} dt = G(\theta_1, \theta_2, \theta_3) = 0.

La forma de las funciones F y G es en general demasiado compleja como para permitir una solución analítica (al menos una utilizando los métodos que conozco), pero es posible buscarla por métodos numéricos. Si partimos desde \theta_1 = 2\pi, \theta_2 = \pi y \theta_3 = 2\pi, FindRoot encuentra la siguiente solución:

\theta_1 \to 3.3895398221083102286...

\theta_2 \to 3.2322701447530641984...

\theta_3 \to 6.6218099668613744270....

Los residuos dados por los valores de \theta_1, \theta_2 y \theta_3 con la precisión calculada (1000 decimales) dejan residuos menores que 10^{-995}, por lo que es razonable asumir que la solución es real y no un “numerical artifact”.

Graficando la trayectoria:

Gráfico de la trayectoria

Gráfico de la trayectoria

Detalle del final de la trayectoria, donde se observa que es oblicua al eje X.

Detalle del final de la trayectoria, donde se observa que es oblicua al eje X.

Tal como se observa en la última figura, el valor de \theta(1) dista mucho ser nulo. En efecto, es 0.33862465968178795010....

Resumiendo, hemos construido una función \theta(t) que satisface la tres ecuaciones

\theta(0) = 0,

\int_0^T e^{-i \theta(t)} dt y

\int_0^T t e^{-i \theta(t)} dt

para T = 1 y manteniendo la derivabilidad de \theta(t).

Cabe hacer varias objeciones a esta solución: en primer lugar, puede que haya entendido mal el problema 😀 ; también es posible que la función continua y lineal a trozos no se “suficientemente derivable”. Siempre sería posible repetir el análisis utilizando una partición diferenciable de la unidad para obtener una función \theta(t) que sea C^{\infty}, aunque dudo que esto lleve a un resultado distinto.

Voy a consultarle al autor original del problema para conocer su opinión del contraejemplo; probablemente se refiriera a otra cosa que el problema desarrollado en esta serie de posts pero no se pierde nada preguntando :-). Y ciertamente fue un problema interesante para tratar.

Para terminar, una animación de la trayectoria recorrida con velocidad unitaria y aceleración unitaria:

Animación de la trayectoria. Las flechas representan las velocidades de cada uno de los puntos y puede apreciarse que permanecen paralelas en todo momento.

Animación de la trayectoria. Las flechas representan las velocidades de cada uno de los puntos y puede apreciarse que permanecen paralelas en todo momento.

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Un problema de integrales (II)

[Continuación de “Un problema de integrales (I)“]

Una forma de explorar un espacio tan grande como es el de trayectorias en el plano en busca de un contraejemplo es restringirse a un subconjunto pequeño del mismo. Para este caso podemos elegir las trayectorias poligonales formadas por tres segmentos (con la idea de ampliar el número de segmentos en caso de no ser posible encontrar un contraejemplo). Expresándolo más formalmente, equivaldría a elegir una función de control \theta(t) de la forma

\theta (t) = \theta_1 H(t - t_1) + (\theta_2 - \theta_1) H(t - t_2),

siendo H(t) el escalón unitario y siendo t_1, \theta_1, t_2 y \theta_2 los parámetros de la trayectoria. Para no arrastrar T por todos lados, podemos tomar T = 1.

Obviamente estas trayectorias no cumplen el requisito de tener derivadas finitas, ya que tienen esquinas en t = t_1 y t = t_2. Pero si se encuentra  una una solución para una de estas trayectorias poligonales es intuitivamente plausible que pueda luego ser “redondeada” para conseguir derivadas finitas.

Esta familia de trayectorias cumple automáticamente con el requisito de que \theta(0) = 0, así que solo resta expresar las otras dos ecuaciones en términos de los parámetros. Empezando con la restricción correspondiente a la trayectoria con velocidad unitaria, tenemos

\int_0^1 e^{-i\theta_(t)} dt = \int_0^{t_1} e^0 dt + \int_{t_1}^{t_2} e^{-i\theta_1} + \int_{t_2}^1 e^{-i\theta_2}dt = 0 .

Como son integrales de constantes, se simplifican a la siguiente expresión:

t_1 + (t_2 - t_1) e^{i\theta_1} + (1 - t_2) e^{i\theta_2} = 0.

La restricción correspondiente a la trayectoria con aceleración unitaria será solo algo más compleja:

\int_0^1 t e^{-i\theta (t)} dt = \int_0^{t_1} t e^0 dt + \int_{t_1}^{t_2} t e^{-i\theta_1} dt + \int_{t_2}^1 t e^{-i\theta_2} dt = 0

\int_0^{t_1} t dt + e^{-i\theta_1}\int_{t_1}^{t_2} t dt + e^{-i\theta_2}\int_{t_2}^1 t dt = 0

\left(\frac{t_1^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right) + e^{-i\theta_1}\left(\frac{t_2^2}{2}-\frac{t_1^2}{2}\right)  + e^{-i\theta_2}\left(\frac{1^2}{2}-\frac{t_2^2}{2}\right)  = 0

t_1^2 + e^{-i\theta_1}\left(t_2^2 - t_1^2\right)  + e^{-i\theta_2}\left(1 - t_2^2\right)  = 0.

Como toda exponencial de un número puramente imaginario puede caracterizarse como un número complejo de módulo unitario, podemos reemplazar las exponenciales por nuevas variables con restricciones asociadas. Esto  dejaría la búsqueda de trayectorias que cumplan las ecuaciones planteadas originalmente reducida a la resolución del siguiente sistema de ecuaciones:

t_1 + w_1(t_2 - t_1) + w_2(1 - t_2) = 0

t_1^2 + w_1(t_2^2 - t_1^2) + w_2(1 - t_2^2) = 0

|w_1| = 1

|w_2| = 1.

Separando en componentes reales e imaginarias, el sistema puede convertirse en uno puramente algebraico (a costa de aumentar el número de ecuaciones):

t_1 + x_1(t_2 - t_1) + x_2(1 - t_2) = 0

y_1(t_2 - t_1) + y_2(1 - t_2) = 0

t_1^2 + x_1(t_2^2 - t_1^2) + x_2(1 - t_2^2) = 0

y_1(t_2^2 - t_1^2) + y_2(1 - t_2^2) = 0

x_1^2 + y_1^2 = 1

x_2^2 + y_2^2 = 1.

Este sistema algebraico, junto con las condiciones de orden temporal y no degeneración 0 < t_1 < t_2 < 1, puede ser resuelto en forma manual o con ayuda de una computadora. Se obtiene como resultado la siguiente solución única:

t_1 = \frac{1}{4}

x_1 = -1

y_1 = 0

t_2 = \frac{3}{4}

x_2 = 1

y_2 = 0.

Como y_1 e y_2 son nulos, puede verse que ambas trayectorias (con velocidad uniforme y con aceleración uniforme) se desarrollarán en línea recta. Ya que, consiguientemente, un gráfico espacial no resultaría muy informativo, podemos presentar ambas trayectorias en un gráfico espacio-temporal:

Diagrama espacio-temporal de las trayectorias recorridas con velocidad y con aceleración unitarias

Diagrama espacio-temporal de las trayectorias recorridas con velocidad y con aceleración unitarias

Si bien esta función de control (única excepto por las ambigüedades propias de trabajar con ángulos)

\theta(t) = \pi H(t - \frac{1}{4}) + \pi H(t - \frac{3}{4})

satisface las tres ecuaciones con las que comenzamos el análisis en el post anterior, no puede cumplir la condición de finitud en las derivadas tal como mencionamos anteriormente. En el próximo post veremos como “redondear” la trayectoria sin que deje de cumplir las ecuaciones requeridas.

Un problema de integrales (I)

En su blog, Kaveh Khodjasteh menciona el siguiente problema:

Dada una función \theta(t) con derivada finita que cumple

\theta(0) = 0

\int_0^T e^{-i\theta(t)}dt = 0

\int_0^T t e^{-i\theta(t)}dt = 0,

probar que \theta(T) = 0 o similar. No estoy seguro de la posible aplicación de este resultado (ya que mi ignorancia en el área de la computación cuántica es grande :-)), pero creo que una forma interesante de visualizar este problema es asociarlo a un problema de planificación de movimiento.

Supongamos que tenemos un robot que se desplaza por el plano XY y del cual podemos controlar en principio su orientación \theta(t) y su velocidad v(t). Entonces sus ecuaciones de movimiento serán:

\dot{x}(t) = v(t) \cos \theta(t)
\dot{y}(t) = v(t) \sin \theta(t).

Transformándolas al plano complejo tendríamos:

\dot{z}(t) = \dot{x}(t) + i \dot{y}(t) = v(t) (\cos \theta(t) + i \sin \theta(t)) = v(t) e^{i \theta(t)}.

Puede observarse ya en estas ecuaciones una gran similitud con los integrandos que aparecen en el problema original. De hecho, la única diferencia es el signo del exponente, el cual puede absorberse en \theta(t) o en una redefinición de la orientación del eje Y. Si integramos respecto al tiempo en el intervalo {[0, T]} tendremos la siguiente expresión (asumiendo z(0) = 0):

z(T) = \int_0^T v(t) e^{i \theta(t)} dt.

Por lo tanto, la condición expresada por la primera integral del problema puede verse como equivalente a exigir el retorno al punto de partida del móvil luego de un intervalo  de tiempo T (z(T) = 0) manteniendo velocidad unitaria (v(t) = 1). La condición expresada por la segunda integral será similar  (z(T) = 0) pero con v(t) = t, es decir con aceleración unitaria. La condición sobre el valor inicial de \theta(t) es equivalente a pedir que el móvil empiece moviéndose en dirección +X.

Si bien encontrar una trayectoria que cumpla solo la primera condición es muy simple y encontrar una que cumpla solo la segunda es solo un poco más complejo, encontrar una que cumpla ambas es marcadamente difícil; consiste en especificar una secuencia de orientaciones en función del tiempo \theta(t) tal que, una vez transcurrido un periodo de tiempo T dado, el móvil esté nuevamente en el origen tanto en caso de haberse movido con velocidad unitaria como en caso de haberlo hecho con aceleración unitaria.

La gran mayoría de las funciones que cumplen una de estas condiciones no cumplen la otra. Por ejemplo, suponiendo T = 2\pi, para \theta(t) = t tenemos

\int_0^{2\pi} e^{-i t} dt = 0, pero

\int_0^{2\pi} te^{-i t} dt = 2 \pi i.

Función de control lineal

Función de control lineal

Mientras que para el caso \theta(t) = \frac{t^2}{2\pi} tendremos

\int_0^{2\pi} e^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt \approx 1.53389 - 1.07887i  y

\int_0^{2\pi} te^{-i\frac{ t^2}{2\pi}} dt = 0.

Función de control cuadrática

Función de control cuadrática

Como este post ya es muy largo, voy a discutir mi solución a este problema en el próximo… Hasta entonces!