Demostración del máximo tamaño del subconjunto sin adyacencia

Esta es una demostración de forma inductiva. Es muy posible que haya [NOTA: HAY] demostraciones mucho más simples, pero no se me ocurrieron 😀

Para facilitar el proceso de pruebas podemos fortalecer el enunciado a demostrar dejándolo del siguiente modo:

Dado el conjunto {1, 2, …, n}, todo subconjunto del mismo que no contenga elementos adyacentes deberá tener una cardinalidad menor o igual a \lceil n/2 \rceil. En caso que n sea impar, n deberá formar parte necesariamente de todo subconjunto de cardinalidad máxima, mientras que si n es par podrá encontrarse un subconjunto de cardinalidad máxima que no incluya a n.

Con el objetivo de simplificar la demostración, podemos llamar subconjunto óptimo a aquel que tiene la máxima cantidad de elementos posibles sin que ninguno sea adyacente.

Caso base

El caso base mínimo es n = 2, ya que n = 1 no permite elementos adyacentes en ningún subconjunto. Para este caso es simple demostrar la validez del enunciado por enumeración exhaustiva, ya que los subconjuntos son: {}, {1}, {2}, {1, 2}.

Si descartamos el único subconjunto con elementos adyacentes {1, 2}, vemos que la máxima cardinalidad de un subconjunto óptimo es 1 = \lceil 2/2 \rceil y que existe un subconjunto óptimo que no contiene a n = 2: {1}.

Fase recursiva

Caso de n impar

Si hacemos n = 2k + 1, vemos claramente que

\lceil n/2 \rceil = \lceil k + 1/2 \rceil = k + 1 = \lceil (n-1)/2 \rceil + 1,

con lo que la cardinalidad de un subconjunto óptimo de {1, 2, …, n} excede en 1 a la de un subconjunto con iguales condiciones de {1, 2, …, n-1}. Eso implica que necesariamente n debe formar parte del subconjunto de cardinalidad máxima ya que, en caso contrario, existiría un subconjunto de {1, 2, …, n-1} con más de \lceil (n-1)/2 \rceil elementos y sin ninguno adyacente, contradiciendo la hipótesis.

Como por hipótesis existe un subconjunto de {1, 2, …, n-1} de tamaño \lceil (n-1)/2 \rceil = \lceil n/2 \rceil - 1, sin elementos adyacentes y sin contener a n-1, podemos agregarle el elemento n para formar un conjunto de cardinalidad \lceil n/2 \rceil e incluyendo a n.

Caso de n par

Un subconjunto “óptimo” de cardinalidad \lceil n/2 \rceil que no incluya a n puede conseguirse fácilmente, ya que es el subconjunto óptimo de {1, 2, …, n-1}. Para conseguir un subconjunto de mayor cardinalidad sin contradecir la hipótesis inductiva sería necesario incluir a n. Pero como todo subconjunto óptimo de {1, 2, …, n-1} incluye a n-1, esto entraría en conflicto con el requerimiento de no adyacencia. Por lo tanto, el subconjunto óptimo de {1, 2, …, n-1} es también un subconjunto óptimo de {1, 2, …, n}, tiene cardinalidad \lceil n/2 \rceil y no incluye a n.

Conclusión

Podemos concluir que todo subconjunto de un intervalo {1, 2, …, n} sin elementos adyacentes tienen necesariamente cardinalidad menor o igual a \lceil n/2 \rceil. Adicionalmente esto implica que todo subconjunto del mismo intervalo con cardinalidad mayor a \lceil n/2 \rceil tendrá al menos un par de elementos adyacentes.

One thought on “Demostración del máximo tamaño del subconjunto sin adyacencia

  1. […] que, dados 51 números en un intervalo de 100, al menos dos deben ser adyacentes. Pero como la demostración que encontré no es muy elegante, la separé en una página auxiliar. (Dejo la primera demostración como ejemplo […]

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s