Descuentos

Montos brutos de descuentos netos

Llamemos n_i al monto neto vendido del ítem i, r_i a la tasa porcentual de impuestos aplicada a este mismo ítem, nd al monto de descuento neto, gd al monto de descuento bruto, nt al total neto y gt al total bruto. Entonces claramente tenemos

nt = \sum_i n_i - nd y

gt = \sum_i n_i (1 + r_i) - gd.

para poder relacionar el descuento bruto con el descuento neto tenemos que asignarle una tasa porcentual de impuestos al descuento. Si repartimos el descuento neto “entre las distintas tasas” de forma proporcional a los montos netos vendidos tendremos

gt = \sum_i \left(n_i - nd\frac{n_i}{nt}\right)(1 + r_i).

Igualando las expresiones del total bruto:

\sum_i n_i (1 + r_i) - gd = \sum_i \left(n_i - nd\frac{n_i}{nt}\right)(1 + r_i)

gd = \sum_i n_i (1 + r_i) - \sum_i \left(n_i - nd\frac{n_i}{nt}\right)(1 + r_i)

gd = \sum_i n_i (1 + r_i) - \left(n_i - nd\frac{n_i}{nt}\right)(1 + r_i)

gd = \sum_i \left(n_i - n_i + nd\frac{n_i}{nt}\right)(1 + r_i)

gd = \sum_i nd\frac{n_i}{nt}(1 + r_i)

gd = \frac{nd}{nt}\sum_i n_i(1 + r_i)

gd = \frac{nd}{nt}gt.

O sea se reparte proporcionalmente.

Una forma intuitiva de ver el porqué de esto es observar que la relación gt/nt solo depende de las fracciones del monto neto asociadas con cada tasa y estas fracciones no dependen del monto descontado si este se reparte en forma proporcional a los montos netos vendidos por tasa:

\frac{gt}{nt} = \frac{1}{nt}\sum_i n_i(1 + r_i)

\frac{gt}{nt} = \sum_i \frac{n_i}{nt}(1 + r_i)

\frac{n_i - nd\frac{n_i}{nt}}{nt - nd} = \frac{1}{nt - nd}\left(n_i - nd\frac{n_i}{nt}\right)

\frac{n_i - nd\frac{n_i}{nt}}{nt - nd} = \frac{n_i}{nt - nd}\left(1 - \frac{nd}{nt}\right)

\frac{n_i - nd\frac{n_i}{nt}}{nt - nd} = \frac{n_i}{nt - nd}\frac{nt - nd}{nt}

\frac{n_i - nd\frac{n_i}{nt}}{nt - nd} = \frac{n_i}{nt}.

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