Steiner

Cómo la física no depende del sistema de coordenadas, podemos elegir el que más nos convenga. En las siguientes expresiones llamamos B al cuerpo, ponemos el origen de coordenadas \mathbf{0} en el centro de masa de B, tenemos I_{zz} que es el momento de inercia alrededor del eje Z y estamos interesados en I_{aa} alrededor de un eje A paralelo al Z y pasando por el punto (d, 0, 0).

Primero empezamos con algunas definiciones básicas:

Masa de B:

\displaystyle M_B = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})

Centro de masa de B, puesto en el origen:

\displaystyle \mathbf{R}_B = \mathbf{0} = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\mathbf{r}

Momento de inercia de B alrededor del eje Z:

\displaystyle I_{zz} = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})(x^2 + y^2)

Momento de inercia de B alrededor del eje A:

\displaystyle I_{aa} = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})((x - d)^2 + y^2)

Expandiendo el cuadrado del binomio en esta última integral obtenemos:

\displaystyle I_{aa} = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})(x^2 - 2dx + d^2 + y^2)

\displaystyle = \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})(x^2 + y^2) - 2d\int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})x + d^2 \int_B d^3\mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})

Puede verse que las distintas integrales son, en orden:

  1. El momento de inercia de B alrededor del eje Z, I_{zz}.
  2. La componente X de la posición del centro de masa de B, 0 en este sistema de referencia.
  3. La masa de B, M_B.

Combinando esto tenemos:

\displaystyle I_{aa} = I_{zz} - 2d \cdot 0 + d^2\cdot M = I_{zz} + M\,d^2,

como se buscaba.

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