TP0 – 2da parte

Una propiedad útil para conocerla al operar con módulos es la siguiente:

\displaystyle \{ x \in \mathbb{R} / |x| < a \} = \{ x \in \mathbb{R} / x < a \} \cap \{ x \in \mathbb{R} / x > -a \}

\displaystyle \{ x \in \mathbb{R} / |x| > a \} = \{ x \in \mathbb{R} / x < -a \} \cup \{ x \in \mathbb{R} / x > a \}

(También son válidas las versiones con igualdad incluida.)

4.b.

Asumiendo que lo que está entre 2^{-1} y \frac{1}{2} es un producto:

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / \left|\frac{x-\frac{5}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}}\right| \geq 2^{-1} \cdot \frac{1}{2} \right\}

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / \left|\frac{x-\frac{5}{2}}{4}\right| \geq \frac{1}{4} \right\}

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / \frac{x-\frac{5}{2}}{4} \geq \frac{1}{4} \right\} \cup \left\{ x \in \mathbb{R} / \frac{x-\frac{5}{2}}{4} \leq -\frac{1}{4} \right\}

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / x-\frac{5}{2} \geq 1 \right\} \cup \left\{ x \in \mathbb{R} / x-\frac{5}{2} \leq -1 \right\}

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / x \geq 1 + \frac{5}{2} \right\} \cup \left\{ x \in \mathbb{R} / x \leq -1 + \frac{5}{2} \right\}

\displaystyle B = \left\{ x \in \mathbb{R} / x \geq \frac{7}{2} \right\} \cup \left\{ x \in \mathbb{R} / x \leq \frac{3}{2} \right\}

\displaystyle B =  \left( -\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{7}{2}, +\infty\right)

4.c.

\displaystyle C = \left\{ x \in \mathbb{R} / \frac{x-1}{x^2-2} > 0 \right\}

Un cociente es positivo cuando ambos términos son positivos o ambos son negativos. Aplicando esto:

\displaystyle C' = \left\{ x \in \mathbb{R} / x-1 > 0 \right\} \cap \left\{ x \in \mathbb{R} / x^2-2 > 0 \right\}

\displaystyle C'' = \left\{ x \in \mathbb{R} / x-1 < 0 \right\} \cap \left\{ x \in \mathbb{R} / x^2-2 < 0 \right\}

\displaystyle C = C' \cup C''

Buscando primero C':

\displaystyle C' = \left(1, +\infty\right) \cap \left(\left(-\infty,-\sqrt{2}\right)\cup\left(\sqrt{2}, +\infty\right)\right)

\displaystyle C' = \left(\sqrt{2}, +\infty\right)

Ahora con C'':

\displaystyle C'' = \left(-\infty,1\right) \cap \left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)

\displaystyle C'' = \left(-\sqrt{2},1\right)

El resultado final:

\displaystyle C = \left(-\sqrt{2},1\right) \cup \left(\sqrt{2}, +\infty\right)

6.f.

Es importante recordar que los pasos deben ser reversibles.

\displaystyle \frac{\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2-b^2}} = \frac{a^2-\sqrt{a^4-b^4}}{b^2}

\displaystyle (\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{a^2-b^2})b^2 = (a^2-\sqrt{a^4-b^4})(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2-b^2})

\displaystyle b^2\sqrt{a^2+b^2}-b^2\sqrt{a^2-b^2} =
\displaystyle = a^2\sqrt{a^2+b^2} + a^2\sqrt{a^2-b^2} - \sqrt{a^4-b^4}\sqrt{a^2+b^2} -\sqrt{a^4-b^4}\sqrt{a^2-b^2}

\displaystyle (b^2-a^2)\sqrt{a^2+b^2}-(b^2+a^2)\sqrt{a^2-b^2} =
\displaystyle = -\sqrt{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\sqrt{a^2+b^2} -\sqrt{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}\sqrt{a^2-b^2}

\displaystyle -(a^2-b^2)\sqrt{a^2+b^2}-(a^2+b^2)\sqrt{a^2-b^2} =
\displaystyle = -\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2} -\sqrt{a^2-b^2}\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{a^2-b^2}

\displaystyle -(a^2-b^2)\sqrt{a^2+b^2}-(a^2+b^2)\sqrt{a^2-b^2} =
\displaystyle = -(a^2+b^2)\sqrt{a^2-b^2} -(a^2-b^2)\sqrt{a^2+b^2}

Cómo esta igualdad es cierta y todos los pasos son reversibles, la igualdad original también lo es.

6.g.

\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{b^3}-\sqrt{ab^2}} = \frac{a(\sqrt{b}+\sqrt{a})}{b-a}

\displaystyle \frac{ab}{b\sqrt{b}-b\sqrt{a}} = \frac{a\sqrt{b}+a\sqrt{a}}{b-a}

\displaystyle ab(b-a) = (a\sqrt{b}+a\sqrt{a})(b\sqrt{b}-b\sqrt{a})

\displaystyle ab^2 - a^2b = (a\sqrt{b})(b\sqrt{b}) - (a\sqrt{b})(b\sqrt{a}) + (a\sqrt{a})(b\sqrt{b})- (a\sqrt{a})(b\sqrt{a})

\displaystyle ab^2 - a^2b = ab^2 - ab\sqrt{ab} + ab\sqrt{ab} - a^2b

\displaystyle ab^2 - a^2b = ab^2 - a^2b

Cómo esta igualdad es cierta y todos los pasos son reversibles, la igualdad original también lo es.

12.c.

Es cuestión de ver en qué lugares tiene problemas cada parte por separado y luego unir.

En este caso, la primera parte tiene problemas en x = 0, que es válido porque 0 \leq 1. Por lo tanto el dominio donde la primera parte es válida es (-\infty, 0) \cup (0, 1].

La segunda parte tiene problemas en x = 2 y está definida para x \geq 2, por lo que el dominio donde será válida es (2, +\infty).

Uniendo ambos:

\displaystyle D = \left(-\infty, 0\right) \cup \left(0, 1\right] \cup \left(2, +\infty\right)

12.f.

Esta expresión solo puede tener problemas por dos razones: contenido de la raíz negativo o denominador nulo. Expresando estas restricciones:

No negatividad: \displaystyle \frac{1-x}{x+2} \geq 0.

Denominador no nulo: \displaystyle x+2 \ne 0

Trabajando con la primera (y usando \vee para representar “o” y \wedge para representar “y”):

\displaystyle \frac{1-x}{x+2} \geq 0

\displaystyle \left(1-x \geq 0 \wedge x+2 > 0\right) \vee \left(1-x \leq 0 \wedge x+2 < 0\right)

\displaystyle \left(1 \geq x \wedge x > -2\right) \vee \left(1 \leq x \wedge x < -2\right)

Reordenando (y recordando que \wedge significa “y”):

\displaystyle -2 < x \leq 1 \vee \bot

(\bot significa falso/contradictorio, es la “T” de “true” al revés 🙂 )

\displaystyle -2 < x \leq 1

Por lo tanto la condición de no negatividad nos restringe a x \in (-2, 1]. La condición de denominador no nulo nos restringe a x \ne -2, que ya excluimos antes. Por lo tanto:

\displaystyle D = \left(-2, 1\right]

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