tp0-3er

1.a.
\displaystyle a(a+1)(a-1)-a^3-a(2a+1) = a(a^2-1)-a^3-(2a^2+a)
\displaystyle = a^3-a-a^3-2a^2-a
\displaystyle = -a-2a^2-a
\displaystyle = -2a-2a^2
\displaystyle = -2a(1+a)

1.b.
\displaystyle \frac{(1-b)^2 (b-1)^3}{(1-b)^4} = -\frac{(1-b)^2 (1-b)^3}{(1-b)^4}
\displaystyle = -\frac{(1-b)^5}{(1-b)^4}
\displaystyle = -(1-b)
\displaystyle = b-1

3.d.
\displaystyle x^2 - 2x + ax - 2a = x(a + x) -2(x + a) = (x - 2)(x + a)

3.e.
\displaystyle x^2 + x - ax - a = x(x + 1) - a(x + 1) = (x - a)(x + 1)

3.f.
\displaystyle x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)

3.g.
\displaystyle 4x^2 - a^2 = (2x + a)(2x - a)

3.h.
\displaystyle a^2 x^2 - \frac{1}{4} = \left(ax + \frac{1}{2}\right)\left(ax - \frac{1}{2}\right)

3.i.
\displaystyle x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})

5.a.
\displaystyle (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}} =
\displaystyle = (\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 - ((\sqrt{2})^2-1^2) - \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}
\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 - 2 + 1 - \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}
\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 1 - \sqrt{4 - 3}
\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 1 - \sqrt{1}
\displaystyle = 3 - 2\sqrt{6}

5.b.
\displaystyle \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{45}}{\sqrt{5^3}} = \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2^2 \cdot 5}+\sqrt{3^2 \cdot 5}}{\sqrt{5^2 \cdot 5}}
\displaystyle = \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2^2}\sqrt{5}+\sqrt{3^2}\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}\sqrt{5}}
\displaystyle = \frac{2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}
\displaystyle = \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}
\displaystyle = \frac{3}{5}

5.c.
\displaystyle \sqrt{\frac{18}{4}}+2\sqrt{\frac{8}{9}}+\sqrt{32}-\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2}}{\sqrt{4}}+2\frac{\sqrt{2^2 \cdot 2}}{\sqrt{3^2}}+\sqrt{2^4 \cdot 2}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}
\displaystyle = \frac{\sqrt{3^2}\sqrt{2}}{2}+2\frac{\sqrt{2^2}\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2^4}\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}
\displaystyle = \frac{3\sqrt{2}}{2}+2\frac{2\sqrt{2}}{3}+4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}
\displaystyle = \frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2}+4\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)
\displaystyle = (\frac{3}{2} + \frac{4}{3} + 4 - 1)\sqrt{2} + 1
\displaystyle = \frac{35}{6}\sqrt{2} + 1

5.d.
\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{27}+\frac{1}{5}\sqrt{75}-\frac{1}{3}\sqrt{12} =
\displaystyle = \frac{1}{1-\sqrt{3}}\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}+\sqrt{3^2\cdot 3}+\frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 5^2}-\frac{1}{3}\sqrt{3\cdot 2^2}
\displaystyle = \frac{1+\sqrt{3}}{1^2-(\sqrt{3})^2}+\sqrt{3^2}\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5^2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{2^2}\sqrt{3}
\displaystyle = \frac{1+\sqrt{3}}{1-3}+3\sqrt{3}+\frac{1}{5}5\sqrt{3}-\frac{1}{3}2\sqrt{3}
\displaystyle = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}
\displaystyle = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}+3\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}
\displaystyle = -\frac{1}{2} + \frac{17}{6}\sqrt{3}

Algunas explicaciones adicionales

A continuación aclaro algunos puntos sobre cada ejercicio:

1.b. Esa transformación puede verse del siguiente modo:

\displaystyle (b-1)^3 = (-(1-b))^3 (sacar un “-” de factor común)
\displaystyle = ((-1)(1-b))^3 (un “-” adelante es lo mismo que multiplicar por -1)
\displaystyle = (-1)^3 (1-b)^3 (distribuyo el cubo)
\displaystyle = (-1)(1-b)^3 (elevo -1 al cubo)
\displaystyle = -(1-b)^3 (un “-” adelante es lo mismo que multiplicar por -1)

3.i. La idea básica es ver cuadrados incluso donde no están 😀 En este caso que 3 = (\sqrt{3})^2:

\displaystyle x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2
\displaystyle = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})

El 3.h es lo mismo, viendo que a^2 x^2 = (ax)^2 y 1/4 = (1/2)^2.

5.b. Simplemente aplico varias veces el que la raiz de algo positivo al cuadrado es ese algo:

\displaystyle \sqrt{5^2} = 5
\displaystyle \sqrt{2^2} = 2

5.c. y 5.d. Descompongo en factores primos y voy aplicando las raíces cuadradas como puedo. Por ejemplo:

\displaystyle \sqrt{96} = \sqrt{2^5 \cdot 3} (factores primos)
\displaystyle = \sqrt{2 \cdot 2^4 \cdot 3} (“saco” de 2^5 algo con exponente par, a lo que pueda tomarle la raíz cuadrada)
\displaystyle = \sqrt{2}\sqrt{2^4}\sqrt{3} (distribuyo la raíz cuadrada)
\displaystyle = \sqrt{2}\cdot 2^\frac{4}{2}\sqrt{3} (raíz cuadrada de una potencia)
\displaystyle = \sqrt{2}\cdot 2^2\sqrt{3} (hago la división)
\displaystyle = 2^2\sqrt{2}\sqrt{3} (reordenamiento)
\displaystyle = 4\sqrt{2 \cdot 3} (2 al cuadrado es 4, meto ambos valores bajo la raíz)
\displaystyle = 4\sqrt{6}

7.c.
Este se resuelve “expandiendo todo”:

\displaystyle \frac{(3x-2)^2}{4}-\frac{(3x+2)^2}{2}+8=-\frac{9}{4}x^2

\displaystyle \frac{9x^2-6x+4}{4}-\frac{9x^2+6x+4}{2}+8=-\frac{9}{4}x^2

\displaystyle \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 - \frac{9}{2}x^2 + 3x + 2 + 8 = -\frac{9}{4}x^2

\displaystyle -\frac{9}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 11 = -\frac{9}{4}x^2

\displaystyle \frac{3}{2}x = -11

\displaystyle x = -\frac{22}{3}

7.d
Este me hizo pensar. Simplemente probando…

\displaystyle \sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^2-4} = 3

\displaystyle \sqrt{x^2+5} = 3 + \sqrt{x^2-4}

\displaystyle (\sqrt{x^2+5})^2 = (3 + \sqrt{x^2-4})^2

\displaystyle x^2 + 5 = 3^2 + 6\sqrt{x^2-4} + (\sqrt{x^2-4})^2

\displaystyle x^2 + 5 = 9 + 6\sqrt{x^2-4} + x^2 - 4

\displaystyle 5 = 5 + 6\sqrt{x^2-4}

\displaystyle 6\sqrt{x^2-4} = 0

\displaystyle x^2 - 4 = 0

\displaystyle x = \pm 2

7.e.
Este es parecido al anterior… separo las raíces primero.

\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} = 3

\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} = 3(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})

\displaystyle \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = 3\sqrt{x+1} - 3\sqrt{x-1}

\displaystyle -2\sqrt{x+1} = -4\sqrt{x-1}

\displaystyle (-2\sqrt{x+1})^2 = (-4\sqrt{x-1})^2

\displaystyle (-2)^2(\sqrt{x+1})^2 = (-4)^2(\sqrt{x-1})^2

\displaystyle 4x + 4 = 16x - 16

\displaystyle 20 = 12x

\displaystyle x = \frac{5}{3}

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