tp0-3er

1.a.
$\displaystyle a(a+1)(a-1)-a^3-a(2a+1) = a(a^2-1)-a^3-(2a^2+a)$
$\displaystyle = a^3-a-a^3-2a^2-a$
$\displaystyle = -a-2a^2-a$
$\displaystyle = -2a-2a^2$
$\displaystyle = -2a(1+a)$

1.b.
$\displaystyle \frac{(1-b)^2 (b-1)^3}{(1-b)^4} = -\frac{(1-b)^2 (1-b)^3}{(1-b)^4}$
$\displaystyle = -\frac{(1-b)^5}{(1-b)^4}$
$\displaystyle = -(1-b)$
$\displaystyle = b-1$

3.d.
$\displaystyle x^2 - 2x + ax - 2a = x(a + x) -2(x + a) = (x - 2)(x + a)$

3.e.
$\displaystyle x^2 + x - ax - a = x(x + 1) - a(x + 1) = (x - a)(x + 1)$

3.f.
$\displaystyle x^2 - a^2 = (x + a)(x - a)$

3.g.
$\displaystyle 4x^2 - a^2 = (2x + a)(2x - a)$

3.h.
$\displaystyle a^2 x^2 - \frac{1}{4} = \left(ax + \frac{1}{2}\right)\left(ax - \frac{1}{2}\right)$

3.i.
$\displaystyle x^2 - 3 = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

5.a.
$\displaystyle (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}} =$
$\displaystyle = (\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2 - ((\sqrt{2})^2-1^2) - \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
$\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 2 - 2 + 1 - \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}$
$\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 1 - \sqrt{4 - 3}$
$\displaystyle = 3 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + 1 - \sqrt{1}$
$\displaystyle = 3 - 2\sqrt{6}$

5.b.
$\displaystyle \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{45}}{\sqrt{5^3}} = \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2^2 \cdot 5}+\sqrt{3^2 \cdot 5}}{\sqrt{5^2 \cdot 5}}$
$\displaystyle = \frac{2\sqrt{5}-\sqrt{2^2}\sqrt{5}+\sqrt{3^2}\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}\sqrt{5}}$
$\displaystyle = \frac{2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$
$\displaystyle = \frac{3\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}$
$\displaystyle = \frac{3}{5}$

5.c.
$\displaystyle \sqrt{\frac{18}{4}}+2\sqrt{\frac{8}{9}}+\sqrt{32}-\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2}}{\sqrt{4}}+2\frac{\sqrt{2^2 \cdot 2}}{\sqrt{3^2}}+\sqrt{2^4 \cdot 2}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}$
$\displaystyle = \frac{\sqrt{3^2}\sqrt{2}}{2}+2\frac{\sqrt{2^2}\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2^4}\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2-1^2}$
$\displaystyle = \frac{3\sqrt{2}}{2}+2\frac{2\sqrt{2}}{3}+4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$
$\displaystyle = \frac{3}{2}\sqrt{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2}+4\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)$
$\displaystyle = (\frac{3}{2} + \frac{4}{3} + 4 - 1)\sqrt{2} + 1$
$\displaystyle = \frac{35}{6}\sqrt{2} + 1$

5.d.
$\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{27}+\frac{1}{5}\sqrt{75}-\frac{1}{3}\sqrt{12} =$
$\displaystyle = \frac{1}{1-\sqrt{3}}\frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}+\sqrt{3^2\cdot 3}+\frac{1}{5}\sqrt{3\cdot 5^2}-\frac{1}{3}\sqrt{3\cdot 2^2}$
$\displaystyle = \frac{1+\sqrt{3}}{1^2-(\sqrt{3})^2}+\sqrt{3^2}\sqrt{3}+\frac{1}{5}\sqrt{5^2}\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{2^2}\sqrt{3}$
$\displaystyle = \frac{1+\sqrt{3}}{1-3}+3\sqrt{3}+\frac{1}{5}5\sqrt{3}-\frac{1}{3}2\sqrt{3}$
$\displaystyle = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}+3\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\displaystyle = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}+3\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$\displaystyle = -\frac{1}{2} + \frac{17}{6}\sqrt{3}$

Algunas explicaciones adicionales

A continuación aclaro algunos puntos sobre cada ejercicio:

1.b. Esa transformación puede verse del siguiente modo:

$\displaystyle (b-1)^3 = (-(1-b))^3$ (sacar un “-” de factor común)
$\displaystyle = ((-1)(1-b))^3$ (un “-” adelante es lo mismo que multiplicar por -1)
$\displaystyle = (-1)^3 (1-b)^3$ (distribuyo el cubo)
$\displaystyle = (-1)(1-b)^3$ (elevo -1 al cubo)
$\displaystyle = -(1-b)^3$ (un “-” adelante es lo mismo que multiplicar por -1)

3.i. La idea básica es ver cuadrados incluso donde no están 😀 En este caso que $3 = (\sqrt{3})^2$:

$\displaystyle x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2$
$\displaystyle = (x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3})$

El 3.h es lo mismo, viendo que $a^2 x^2 = (ax)^2$ y $1/4 = (1/2)^2$.

5.b. Simplemente aplico varias veces el que la raiz de algo positivo al cuadrado es ese algo:

$\displaystyle \sqrt{5^2} = 5$
$\displaystyle \sqrt{2^2} = 2$

5.c. y 5.d. Descompongo en factores primos y voy aplicando las raíces cuadradas como puedo. Por ejemplo:

$\displaystyle \sqrt{96} = \sqrt{2^5 \cdot 3}$ (factores primos)
$\displaystyle = \sqrt{2 \cdot 2^4 \cdot 3}$ (“saco” de $2^5$ algo con exponente par, a lo que pueda tomarle la raíz cuadrada)
$\displaystyle = \sqrt{2}\sqrt{2^4}\sqrt{3}$ (distribuyo la raíz cuadrada)
$\displaystyle = \sqrt{2}\cdot 2^\frac{4}{2}\sqrt{3}$ (raíz cuadrada de una potencia)
$\displaystyle = \sqrt{2}\cdot 2^2\sqrt{3}$ (hago la división)
$\displaystyle = 2^2\sqrt{2}\sqrt{3}$ (reordenamiento)
$\displaystyle = 4\sqrt{2 \cdot 3}$ (2 al cuadrado es 4, meto ambos valores bajo la raíz)
$\displaystyle = 4\sqrt{6}$

7.c.
Este se resuelve “expandiendo todo”:

$\displaystyle \frac{(3x-2)^2}{4}-\frac{(3x+2)^2}{2}+8=-\frac{9}{4}x^2$

$\displaystyle \frac{9x^2-6x+4}{4}-\frac{9x^2+6x+4}{2}+8=-\frac{9}{4}x^2$

$\displaystyle \frac{9}{4}x^2 - \frac{3}{2}x + 1 - \frac{9}{2}x^2 + 3x + 2 + 8 = -\frac{9}{4}x^2$

$\displaystyle -\frac{9}{4}x^2 + \frac{3}{2}x + 11 = -\frac{9}{4}x^2$

$\displaystyle \frac{3}{2}x = -11$

$\displaystyle x = -\frac{22}{3}$

7.d
Este me hizo pensar. Simplemente probando…

$\displaystyle \sqrt{x^2+5} - \sqrt{x^2-4} = 3$

$\displaystyle \sqrt{x^2+5} = 3 + \sqrt{x^2-4}$

$\displaystyle (\sqrt{x^2+5})^2 = (3 + \sqrt{x^2-4})^2$

$\displaystyle x^2 + 5 = 3^2 + 6\sqrt{x^2-4} + (\sqrt{x^2-4})^2$

$\displaystyle x^2 + 5 = 9 + 6\sqrt{x^2-4} + x^2 - 4$

$\displaystyle 5 = 5 + 6\sqrt{x^2-4}$

$\displaystyle 6\sqrt{x^2-4} = 0$

$\displaystyle x^2 - 4 = 0$

$\displaystyle x = \pm 2$

7.e.
Este es parecido al anterior… separo las raíces primero.

$\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}} = 3$

$\displaystyle \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} = 3(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})$

$\displaystyle \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = 3\sqrt{x+1} - 3\sqrt{x-1}$

$\displaystyle -2\sqrt{x+1} = -4\sqrt{x-1}$

$\displaystyle (-2\sqrt{x+1})^2 = (-4\sqrt{x-1})^2$

$\displaystyle (-2)^2(\sqrt{x+1})^2 = (-4)^2(\sqrt{x-1})^2$

$\displaystyle 4x + 4 = 16x - 16$

$\displaystyle 20 = 12x$

$\displaystyle x = \frac{5}{3}$

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