Dinámica de fluidos en Javascript

Inspirado por un ejemplo portado por Oliver Hunt de C a JS (y frustrado porque no se me ocurría como resolver el nivel Ophanim en Manufactoria 😀 ), decidí portar mi código de simulación de fluidos mediante Lattice Boltzmann (LB) a Javascript y agregarle interactividad. La visualización es algo primitiva, ya que me concentré en optimizar los cálculos sin prestarle mucha atención a la optimización del manejo de canvas; posiblemente mejore ese aspecto en una próxima versión.

El código presenta algunas limitaciones propias de utilizar una grilla de 64 X 64 como base (el máximo tamaño con performance “realtime“) y, muy probablemente de mi desconocimiento sobre como optimizar los parámetros de LB. Es particularmente clara la compresibilidad del fluido y no es muy difícil hacer “explotar” la simulación (se recupera mediante un reset).

Como WordPress no permite incluir código Javascript en los posts, para visualizar la simulación pueden hacer click en la imagen de referencia de los controles.

Referencia de los controles de la simulación. Hacer click para arrancar la simulación.

El uso de los controles es muy simple:

• Play/pause: arranca o detiene la simulación.
• Reset: reinicia la simulación desde cero.
• Visualization reset: reinicia la visualización, creando una nueva serie de partículas para marcar el movimiento del fluido (sin alterar el estado del mismo).

Para darle un impulso a una parte del fluido basta con arrastrar sobre el área de visualización.

En un posterior post incluiré detalles acerca de como funciona LB y de las optimizaciones realizadas (tengo que leer más, sobre todo respecto a la conexión con los valores físicos 😀 ).

Porqué no se puede ganar siempre

Respuesta al post anterior

La técnica mostrada en el post anterior se denomina martingala y es muy antigua. Obviamente, a pesar de lo que puedan decir algunos, no funciona. Pero porqué la simulación anterior parecía mostrar lo contrario?

El motivo principal del fallo de la simulación es no limitar la cantidad de dinero del jugador disponible para apostar. Como la cantidad que se requiere apostar crece exponencialmente con la cantidad de jugadas, en una cantidad relativamente pequeña de estas se excederán las reservas del jugador y no podrá continuar apostando.

Otro problema de la simulación es que, incluso una cantidad grande de simulaciones, puede obviar acontecimientos muy improbables. Esto no es problemático cuando los eventos en cuestión no tienen consecuencias excepcionales pero, cuando conducen a un impacto proporcional a su improbabilidad, puede distorsionarse mucho el valor esperado (probar la nueva simulación Javascript con M = 100000 para N = 1000 y N = 1000000; observar las diferencias en los valores esperados estimados).

Pero puede objetarse (con razón!) que solo demostramos el fallo de una estrategia de apuesta, no de todas las posibles. Por lo tanto, a continuación, demostraremos que esto se aplica a cualquier estrategia.

Porqué los sistemas no funcionan

Como en toda demostración matemática, necesitaremos hacer ciertas suposiciones sobre el problema en cuestión:

1. El juego consiste en una cierta serie de jugadas, cada una asociada con una variable aleatoria . Asumimos que todas las variables tienen la misma distribución.
2. En la jugada el jugador apuesta una cantidad a un evento aleatorio (donde tomamos como un subconjunto de lso valores que podría tomar ).
3. Si el evento ocurre al que el jugador apostó ocurre, este recibe el monto apostado multiplicado por una constante dependiente del evento al que apostó. En caso contrario, pierde lo apostado.
4. .
5. Los valores de las variables aleatorias no aportan información sobre el valor de .

Las primeras 3 suposiciones son simplemente una descripción general de un juego de azar, mientras que 5 nos indica que las anteriores jugadas no nos dan información sobre la jugada actual. La suposición 4 parece más compleja, pero esencialmente nos indica que los factores han sido correctamente elegidos por el casino.

Para ver esto, supongamos que existe un evento tal que . Entonces, si elegimos una estrategia de apostar veces al evento un monto unitario, nuestro balance esperado será:

,

donde es el balance general del jugador y el balance de la jugada .

Eso implicaría que podríamos ganar simplemente repitiendo una apuesta una y otra vez (puede demostrarse sin mucha dificultad que ni siquiera necesitaríamos reservas muy grandes, solo de orden ). Como eso claramente no ocurre en los casinos, es obvio que los multiplicadores están elegidos correctamente (de hecho, por ejemplo en la ruleta, están elegidos “a favor” del casino por la existencia del cero).

Busquemos ahora el valor esperado de una estrategia de apuestas :

siendo y las funciones anteriormente descritas. Pero la suposición 5 nos dice que

,

es decir que esa información no nos modifica la probabilidad de ningún evento y, en particular, de . Combinando con la suposición 4 llegamos a

,

siempre que sea positivo, como es razonable.

Caminos de escape

Aunque una demostración fuera perfecta, sus conclusiones nunca será más fuertes que sus hipótesis. En esta sección analizaremos algunas formas en las que las hipótesis pueden ser falsas:

m_i < 0: Este es esencialmente el método utilizado por los casinos. Suele ser bastante complejo de seguir, pero muy redituable 🙂

Fallo en la hipótesis 4: Los multiplicadores son fáciles de determinar conociendo las probabilidades y generalmente se utilizan probabilidades “nominales” (por ejemplo, suponer equiprobables a los 37 o 38 números de la ruleta). Pero si algún observador encuentra evidencia que lo mueva a probabilidades distintas de las nominales, puede que existan apuestas con valor esperado positivo.

Fallo en la hipótesis 5: Pueden existir correlaciones no esperadas entre las variables aleatorias. Esto es más común en los juegos por computadora, que suelen usar números pseudoaleatorios y, en algunos casos, tienen errores de implementación que vuelven predecibles las secuencias generadas.