Din谩mica de fluidos en Javascript

Inspirado por un ejemplo portado por Oliver Hunt de C a JS (y frustrado porque no se me ocurr铆a como resolver el nivel Ophanim en Manufactoria 馃榾 ), decid铆 portar mi c贸digo de simulaci贸n de fluidos mediante Lattice Boltzmann (LB) a Javascript y agregarle interactividad. La visualizaci贸n es algo primitiva, ya que me concentr茅 en optimizar los c谩lculos sin prestarle mucha atenci贸n a la optimizaci贸n del manejo de canvas; posiblemente mejore ese aspecto en una pr贸xima versi贸n.

El c贸digo presenta algunas limitaciones propias de utilizar una grilla de 64 X 64 como base (el m谩ximo tama帽o con performance “realtime“) y, muy probablemente de mi desconocimiento sobre como optimizar los par谩metros de LB. Es particularmente clara la compresibilidad del fluido y no es muy dif铆cil hacer “explotar” la simulaci贸n (se recupera mediante un reset).

Como WordPress no permite incluir c贸digo Javascript en los posts, para visualizar la simulaci贸n pueden hacer click en la imagen de referencia de los controles.

Referencia de los controles de la simulaci贸n. Hacer click para arrancar la simulaci贸n.

El uso de los controles es muy simple:

  • Play/pause: arranca o detiene la simulaci贸n.
  • Reset: reinicia la simulaci贸n desde cero.
  • Visualization reset: reinicia la visualizaci贸n, creando una nueva serie de part铆culas para marcar el movimiento del fluido (sin alterar el estado del mismo).

Para darle un impulso a una parte del fluido basta con arrastrar sobre el 谩rea de visualizaci贸n.

En un posterior post incluir茅 detalles acerca de como funciona LB y de las optimizaciones realizadas (tengo que leer m谩s, sobre todo respecto a la conexi贸n con los valores f铆sicos 馃榾 ).

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Porqu茅 no se puede ganar siempre

Respuesta al post anterior

La t茅cnica mostrada en el post anterior se denomina martingala y es muy antigua. Obviamente, a pesar de lo que puedan decir algunos, no funciona. Pero porqu茅 la simulaci贸n anterior parec铆a mostrar lo contrario?

El motivo principal del fallo de la simulaci贸n es no limitar la cantidad de dinero del jugador disponible para apostar. Como la cantidad que se requiere apostar crece exponencialmente con la cantidad de jugadas, en una cantidad relativamente peque帽a de estas se exceder谩n las reservas del jugador y no podr谩 continuar apostando.

Otro problema de la simulaci贸n es que, incluso una cantidad grande de simulaciones, puede obviar acontecimientos muy improbables. Esto no es problem谩tico cuando los eventos en cuesti贸n no tienen consecuencias excepcionales pero, cuando conducen a un impacto proporcional a su improbabilidad, puede distorsionarse mucho el valor esperado (probar la nueva simulaci贸n Javascript con M = 100000 para N = 1000 y N = 1000000; observar las diferencias en los valores esperados estimados).

Pero puede objetarse (con raz贸n!) que solo demostramos el fallo de una estrategia de apuesta, no de todas las posibles. Por lo tanto, a continuaci贸n, demostraremos que esto se aplica a cualquier estrategia.

Porqu茅 los sistemas no funcionan

Como en toda demostraci贸n matem谩tica, necesitaremos hacer ciertas suposiciones sobre el problema en cuesti贸n:

  1. El juego consiste en una cierta serie de jugadas, cada una asociada con una variable aleatoria X_i. Asumimos que todas las variables X_i tienen la misma distribuci贸n.
  2. En la jugada i el jugador apuesta una cantidad m_i a un evento aleatorio e_i (donde tomamos e_i como un subconjunto de lso valores que podr铆a tomar X_i).
  3. Si el evento ocurre al que el jugador apost贸 ocurre, este recibe el monto apostado multiplicado por una constante k(e_i) dependiente del evento al que apost贸. En caso contrario, pierde lo apostado.
  4. k(e) P(e) \le 1.
  5. Los valores de las variables aleatorias X_1, X_2, ..., X_{i-1} no aportan informaci贸n sobre el valor de X_i.

Las primeras 3 suposiciones son simplemente una descripci贸n general de un juego de azar, mientras que 5 nos indica que las anteriores jugadas no nos dan informaci贸n sobre la jugada actual. La suposici贸n 4 parece m谩s compleja, pero esencialmente nos indica que los factores k han sido correctamente elegidos por el casino.

Para ver esto, supongamos que existe un evento e tal que k(e) P(e) > 1. Entonces, si elegimos una estrategia de apostar N veces al evento e un monto unitario, nuestro balance esperado ser谩:

\displaystyle E[b] = E[\sum_{i=1}^N b_i]

\displaystyle = \sum_{i=1}^N E[b_i]

\displaystyle =  \sum_{i=1}^N ((k(e)-1)P(e) - (1-P(e)))

\displaystyle = N (k(e)P(e) - 1)

\displaystyle > 0,

donde b es el balance general del jugador y b_i el balance de la jugada i.

Eso implicar铆a que podr铆amos ganar simplemente repitiendo una apuesta una y otra vez (puede demostrarse sin mucha dificultad que ni siquiera necesitar铆amos reservas muy grandes, solo de orden \sqrt(N)). Como eso claramente no ocurre en los casinos, es obvio que los multiplicadores est谩n elegidos correctamente (de hecho, por ejemplo en la ruleta, est谩n elegidos “a favor” del casino por la existencia del cero).

Busquemos ahora el valor esperado de una estrategia de apuestas m_i(i, X_1, X_2, ..., X_{i-1}), e_i(i, X_1, X_2, ..., X_{i-1}):

\displaystyle E[b] = E[\sum_{i=1}^N b_i]

\displaystyle = E[\sum_{i=1}^N b_i]

\displaystyle = \sum_{i=1}^N E[b_i]

\displaystyle = \sum_{i=1}^N ((k(e_i)-1)P(e_i) - (1-P(e_i)))m_i

\displaystyle = \sum_{i=1}^N (k(e_i)P(e_i) - 1)m_i

siendo e_i y m_i las funciones anteriormente descritas. Pero la suposici贸n 5 nos dice que

P(e_i|i,X_1=x_1, X_2=x_2, ..., X_{i-1} = x_{i-1}) = P(e_i),

es decir que esa informaci贸n no nos modifica la probabilidad de ning煤n evento y, en particular, de e_i. Combinando con la suposici贸n 4 llegamos a

\displaystyle E[b] \le 0 ,

siempre que m_i sea positivo, como es razonable.

Caminos de escape

Aunque una demostraci贸n fuera perfecta, sus conclusiones nunca ser谩 m谩s fuertes que sus hip贸tesis. En esta secci贸n analizaremos algunas formas en las que las hip贸tesis pueden ser falsas:

mi < 0: Este es esencialmente el m茅todo utilizado por los casinos. Suele ser bastante complejo de seguir, pero muy redituable 馃檪

Fallo en la hip贸tesis 4: Los multiplicadores son f谩ciles de determinar conociendo las probabilidades y generalmente se utilizan probabilidades “nominales” (por ejemplo, suponer equiprobables a los 37 o 38 n煤meros de la ruleta). Pero si alg煤n observador encuentra evidencia que lo mueva a probabilidades distintas de las nominales, puede que existan apuestas con valor esperado positivo.

Fallo en la hip贸tesis 5: Pueden existir correlaciones no esperadas entre las variables aleatorias. Esto es m谩s com煤n en los juegos por computadora, que suelen usar n煤meros pseudoaleatorios y, en algunos casos, tienen errores de implementaci贸n que vuelven predecibles las secuencias generadas.